danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2021-65-1-25-32dan-941Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSКомпактные разностные схемы для уравнения Клейна–Гордона с переменными коэффициентамиCompact difference schemes for Klein–Gordon equation with variable coefficientsМатусП. П.MatusP. P.

Матус Петр Павлович – член-корреспондент, д-р физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

 

Matus Piotr P. – Corresponding Member, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief researcher

11, Surganov Str., 220072, Minsk

piotr.p.matus@gmail.comАньХ.Т.К.AnhH.T.K.

Хоанг Тхи Киеу Ань – соискатель

пр. Независимости, 4, 220030, Минск

 

Hoang Thi Kieu Anh – Postgraduate student

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

kieuanhhoang86@gmail.comИнститут математики Национальной академии наук Беларуси; Католический университет ЛюблинаInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus; Institute of Mathematics and Computer Science The John Paul II Catholic University of LublinБелорусский государственный университетBelarusian State University2021220220216512532Copyright © Матус П.П., Ань Х., 20212021Матус П.П., Ань Х.Matus P.P., Anh H.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/941

В настоящей работе на трехточечном шаблоне рассматриваются компактные разностные схемы 4 + 2 порядка аппроксимации для уравнения Клейна–Гордона с переменными коэффициентами. Несмотря на линейность дифференциальной и разностной задач в этом случае не удается применить известные результы по теории устойчивости трехслойных операторно-разностных схем А. А. Самарского. Основной целью работы является доказательство устойчивости компактной разностной схемы по начальным данным и правой части в сеточных нормах  L2(Wh), W12 (Wh), C (Wh). Используя метод энергетических неравенств в работе получены соответствующие априорные оценки, выражающие устойчивость и сходимость решения разностной задачи при предположении h ≤ = h0,  h0 = const, τ≥hНа примере вычислительного эксперимента показывается как использовать правило Рунге для определения разных порядков скорости сходимости решения разностной схемы в случае двух независимых переменных.

In this paper, we consider the compact difference approximation of the fourth and second-order schemes on a three-point stencil for Klein–Gordon equations with variable coefficients. Despite the linearity of the differential and difference problems, it is not possible in this case to apply the well-known results on the theory of stability of three-layer operator-difference schemes by A. A. Samarskii. The main purpose is to prove the stability with respect to the initial data and the right-hand side of compact difference schemes in the grid norms L2(Wh), W12 (Wh), C (Wh). Using the method of energy inequalities, the corresponding a priori estimates, expressing the stability and convergence of the solution to the difference problem with the assumption h ≤ = h0,  h0 = const, τ≥h is obtained. The conducted numerical experiment shows how Runge rule is used to determine the different orders of the convergence rate of the difference scheme in the case of two independent variables.

компактная разностная схемауравнение Клейна–Гордонааприорные оценкиустойчивостьсходимостьcompact difference schemesKlein–Gordon equationpriori estimatesstabilityconvergenceReferencesМатус, П. П. Компактные разностные схемы для уравнения Клейна–Гордона / П. П. Матус, Х. Т. К. Ань // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2020. – Т. 64, № 5. – С. 526–533. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2020- 64-5-526-533Matus P. P., Anh H. T. K. Compact difference schemes for Klein–Gordon equation. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2020, vol. 64, no. 5, pp. 526–533 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8323-2020-64-5-526-533Паасонен, В. И. Обобщение методов повышенной точности для нелинейных уравнений 2-го порядка в ортогональных системах координат / В. И. Паасонен // Численные методы механики сплошной среды. – 1977. – Т. 8, № 2. – С. 94–99.Paasonen V. I. Generalization of high-precision methods for second-order nonlinear equations in orthogonal coordinate systems. Chislennye metody mekhaniki sploshnoi sredy = Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling, 1977, vol. 8, no. 2, pp. 94–99 (in Russian).Самарский, А. А. Схемы повышенного порядка точности для многомерного уравнения теплопроводности / А. А. Самарский // Журн. вычисл. математики и матем. физ. – 1963. – Т. 3, № 5. – С. 812–840.Samarskii A. A. Schemes of high-order accuracy for the multi-dimensional heat conduction equation. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1963, vol. 3, no. 5, pp. 1107–1146. https://doi.org/10.1016/0041-5553(63)90104-6Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1989. – 616 с.Samarskii A. A. Theory of difference schemes. Moscow, Nauka Publ., 1989. 616 p. (in Russian).Паасонен, В. И. Компактные схемы для систем уравнений второго порядка с конвективными членами / В. И. Паасонен // Численные методы механики сплошной среды. – 1998. – Т. 3, № 1. – С. 55–66.Paasonen V. I. Compact schemes for systems of second-order equations without mixed derivatives. Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling, 1998, vol. 13, no. 4. https://doi.org/10.1515/rnam.1998.13.4.335Паасонен, В. И. Диссипативные асимметричные компактные схемы для уравнения колебаний // Вычислительные технологии. – 2001. – Т. 6, № 2. – С. 475–479.Paasonen V. I. Dissipative asymmetric compact schemes for the equation of oscillations. Vychislitelnye technologii = Computational technologies. 2001, vol. 6, no. 2, pp. 475–479 (in Russian).Самарский, А. А. Разностные схемы с операторными множителями / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич, П. П. Матус. – Минск: ЦОТЖ, 1998. – 442 с.Samarskii A. A., Matus P. P., Vabishchevich P. N. Difference schemes with operator factors. Dordrecht, 2002. 384 p. https://doi.org/10.1007/978-94-015-9874-3Самарский, А. А. Устойчивость разностных схем / А. А. Самарский, А. В. Гулин. – М.: Наука, 1973. – 415 с.Samarskii A. A., Gulin A. V. Stability of difference schemes. Moscow, Nauka Publ., 1973. 415 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.