danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2021-65-2-135-138dan-955Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSКлассическое решение первой смешанной задачи для волнового уравнения в цилиндрической областиClassical solution of the first mixed problem for the wave equation in the cylyndrical domainКорзюкВ. И.KorzyukV. I.

Корзюк Виктор Иванович, академик, д-р физ.-мат. наук, профессор

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Korzyuk Viktor I., Academician, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor

11, Surganov Str., 220072, Minsk

korzyuk@bsu.byСтолярчукИ. И.StolyarchukI. I.

Столярчук Иван Игоревич, канд. физ.-мат. наук

пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Korzyuk Viktor I., Academician, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor

11, Surganov Str., 220072, Minsk

ivan.telkontar@gmail.comИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusБелорусский государственный университетBelarusian State University202106052021652135138Copyright © Корзюк В.И., Столярчук И.И., 20212021Корзюк В.И., Столярчук И.И.Korzyuk V.I., Stolyarchuk I.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/955

В данном сообщении рассматривается первая смешанная задача для волнового уравнения в четырехмерной области (три пространственные и одна временная компоненты). С помощью операторов осреднения по сфере доказывается теорема о существовании единственного классического решения поставленной задачи. Метод осреднения по сфере ранее использовался для вывода формул Кирхгофа и Пуассона для решения задачи Коши для волнового уравнения в случае четырех и трех независимых переменных соответственно. Показывается, что этот метод может быть применен и для более сложной задачи. При использовании операторов осреднения по сфере исходная задача сводится к первой смешанной задаче для уравнения колебания струны, для которой уже доказан критерий корректной разрешимости. При этом требования на гладкость функций в критерии для разрешимости первой смешанной задачи для уравнения колебания струны необходимо усилить. Усиленный критерий можно доказать с помощью метода характеристик.

The first mixed problem for the wave equation in the four-dimensional area (three dimensions of space and one dimension of time) is considered. The theorem of existence of the unique classical solution of the given problem is proved with the help of averaging operators. The method of averaging operators was used for obtaining kirchhoff’s and Poisson’s formulas for solving the Cauchy problem for the wave equation in the case of four and three independent variables respectively. Here it is shown that this approach can be used to solve a more complex problem. When using averaging operators, the initial problem is reduced to the first mixed problem for string oscillations, for which the correct solvability criterion has already been proved. However, the smoothness of the functions in the solvability criterion should be enhanced. The enhanced criterion can be proved by the method of characteristics.

волновое уравнениеметод характеристикоператор осреднения по сфереклассическое решениесмешанная задачаусловия согласованияwave equationcharacteristics methodsphere averaging operatorclassical solutionmixed problemmatching conditionsReferencesКорзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для уравнения Клейна–Гордона–Фока в полуполосе / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Дифференциальные уравнения. – 2014. – Т. 50, № 8. – С. 1105–1117.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the first mixed problem for the klein–Gordon–Fock equation in a half-strip. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 8, pp. 1098–1111. https://doi.org/10.1134/s0012266114080084Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи уравнения Клейна–Гордона–Фока с нелокальными условиями / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2017. – Т. 61, № 6. – С. 20–27.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the mixed problem for the klein–Gordon–Fock equation with nonlocal conditions. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2017, vol. 61, no. 6, pp. 20–27 (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для уравнения Клейна–Гордона–Фока с нелокальными условиями / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Тр. Ин-та математики. – 2018. – Т. 26, № 1. – С. 56–72.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the mixed problem for the klein–Gordon–Fock equation with the nonlocal conditions. Trudy Instituta matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2018, vol. 26, no. 1, pp. 56–72 (in Russian).Чернятин, В. А. О разрешимости смешанной задачи для неоднородного гиперболического уравнения / В. А. Чернятин // Дифференциальные уравнения. – 1988. – Т. 24, № 4. – С. 717–720.Chernyatin V. A. About solvability of the mixed problem for the inhomogeneous hyperbolic equation. Differentsialnye uravneniya = Differential Equations, 1988, vol. 24, no. 4, pp. 717–720 (in Russian).Барановская, С. Н. Смешанная задача для уравнения колебания струны с зависящей от времени косой производной в краевом условии / С. Н. Барановская, Н. И. Юрчук // Дифференциальные уравнения. – 2009. – Т. 45, № 8. – С. 1188–1191.Baranovskaya S. N., Yurchuk N. I. Mixed problem for the string vibration equation with a time-dependent oblique derivative in the boundary condition. Differential Equations, 2009, vol. 45, no. 8, pp. 1212–1215. https://doi.org/10.1134/s0012266109080126Ильин, В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений / В. А. Ильин // Успехи математ. наук. – 1960. – Т. 15, № 2. – С. 97–154.Il’in V. A. The solvability of mixed problems for hyperbolic and parabolic equations. Russian Mathematical Surveys, 1960, vol. 15, no. 2, pp. 85–142. https://doi.org/10.1070/rm1960v015n02abeh004217Шлапакова, Т. С. Смешанная задача для уравнения колебания ограниченной струны с производной в краевом условии, направленной не по характеристике / Т. С. Шлапакова, Н. И. Юрчук // Вестн. БГУ. Сер. 1. Физика. Математика. Информатика. – 2013. – № 1. – С. 64–69.Shlapakova T. S., Yurchuk N. I. Mixed problem for the string oscillation equation with the off-characteristic oblique derivative. Vestnik Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1. Fizika. Matematika. Informatika [Proceedings of the Belarussian State University. Series 1. Physics. Mathematics. Informatics], 2013, no. 1, pp. 64–69 (in Russian).Корзюк, В. И. Классические решения задач для гиперболических уравнений: курс лекций в 10 ч. / В. И. Корзюк, И. С. Козловская. – Минск, 2017. – Ч. 2. – 52 с.Korzyuk V. I., Kozlovskaya I. S. Classical problem solutions for hyperbolic equations: A course of lectures in 10 parts. Minsk, 2017, part 2. 52 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.