danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2021-65-2-146-157dan-957Research ArticleФИЗИКАPHYSICSДираковская частица во внешнем кулоновском поле на фоне пространств Лобачевского–РиманаDirac particle in the external coulomb field on the background of the Lobachevsky–Riemann space modelsОвсиюкЕ. М.ОvsiyukE. M.

Овсиюк Елена Михайловна, канд. физ.-мат. наук, доцент, заведующая кафедрой

ул. Студенческая, 28, 247760, Мозырь, Гомельская обл.

Оvsiyuk Еlena М., Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Head of the Department

28, Studencheskaya Str., 247760, Mozyr, Gomel region

e.ovsiyuk@mail.ruКоральковА. Д.Koral’kovA. D.

Коральков Артем Дмитриевич, магистрант

ул. Студенческая, 28, 247760, Мозырь, Гомельская обл.

Koral’kov Artem D., Undergraduate

28, Studencheskaya Str., 247760, Mozyr, Gomel region

artemkoralkov@gmail.comМозырский государственный педагогический университет имени И. П. ШамякинаMozyr State Pedagogical University named after I. P. Shamyakin202108052021652146157Copyright © Овсиюк Е.М., Коральков А.Д., 20212021Овсиюк Е.М., Коральков А.Д.Оvsiyuk E.M., Koral’kov A.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/957

Исследованы известные системы радиальных уравнений, описывающие атом водорода на основе уравнения Дирака в пространствах постоянной кривизны Лобачевского–Римана. В обеих геометрических моделях выведены дифференциальные уравнения второго порядка с шестью регулярными особыми точками, построены их точные решения фробениусовского типа. Для получения правила квантования для значений энергии используется известное условие, выделяющее трансцендентные решения Фробениуса. Это позволяет найти в явном виде спектры энергий, которые интерпретируются физически и похожи на спектры, возникающие из анализа скалярных уравнений Клейна–Фока–Гордона в этих пространственных моделях. Спектры с похожей структурой возникали ранее из анализа этих же систем уравнений на основе применения квазиклассического приближения.

The known systems of the radial equations describing the hydrogen atom on the basis of the Dirac equation in the Lobachevsky–Riemann spaces of constant curvature are investigated. In the both geometrical models, the differential equations of second order with six regular singular points are found, and their exact solutions of Frobenius type are constructed. To produce the quantization rule for energy values we use the known condition which separates the transcendental Frobenius solutions. This provides us with the energy spectra that are physically interpretable and are similar to those for the Klein–Fock–Gordon particle in these space models. These spectra are similar to those that previously have appeared in studying the same systems of the equations with the use of the semi-classical approximation.

дираковская частицакулоновское полепространства постоянной кривизнырешения Фробениусаусловие трансцендентностиспектр энергииDirac particleCoulomb fieldspaces of constant curvatureFrobenius solutionstranscendency conditionsenergy spectrumReferencesSchrodinger, E. A method of determining quantum-mechanical eigenvalues and eigenfunctions / E. Schrodinger // Proceedings of the Royal Irish Academy. – 1940. – Vol. 46, N 1. – P. 9–16.Schrodinger E. A method of determining quantum-mechanical eigenvalues and eigenfunctions. Proceedings of the Royal Irish Academy, 1940, vol. 46, no. 1, pp. 9–16.Infeld, L. A note on the kepler problem in a space of constant negative curvature / L. Infeld, A. Schild // Physical Review. – 1945. – Vol. 67, N 3–4. – P. 121–122. https://doi.org/10.1103/physrev.67.121Infeld L., Schild A. A note on the kepler problem in a space of constant negative curvature. Physical Review, 1945, vol. 67, no. 3–4, pp. 121–122. https://doi.org/10.1103/physrev.67.121Bessis, N. Electronic wave functions in a space of constant curvature / N. Bessis, G. Bessis // Journal of Physics A. – 1979. – Vol. 12, N 11. – P. 1991–1997. https://doi.org/10.1088/0305-4470/12/11/012Bessis N., Bessis G. Electronic wave functions in a space of constant curvature. Journal of Physics A, 1979, vol. 12, no. 11, pp. 1991–1997. https://doi.org/10.1088/0305-4470/12/11/012Shamseddine, R. On the resolution of the wave equations of electron in a space of constant curvature / R. Shamseddine // Canadian Journal of Physics. – 1997. – Vol. 75, N 11. – P. 805–811. https://doi.org/10.1139/p97-025Shamseddine R. On the resolution of the wave equations of electron in a space of constant curvature. Canadian Journal of Physics, 1997, vol. 75, no. 11, pp. 805–811. https://doi.org/10.1139/p97-025Higgs, P. W. Dynamical symmetries in a spherical geometry. I / P. W. Higgs // Journal of Physics A. – 1979. – Vol. 12, N 3. – P. 309–323. https://doi.org/10.1088/0305-4470/12/3/006Higgs P. W. Dynamical symmetries in a spherical geometry. I. Journal of Physics A, 1979, vol. 12, no. 3, pp. 309–323. https://doi.org/10.1088/0305-4470/12/3/006Leemon, H. I. Dynamical symmetries in a spherical geometry. II / H. I. Leemon // Journal of Physics A. – 1979. – Vol. 12, N 4. – P. 489–501. https://doi.org/10.1088/0305-4470/12/4/009Leemon H. I. Dynamical symmetries in a spherical geometry. II. Journal of Physics A, 1979, vol. 12, no. 4, pp. 489– 501. https://doi.org/10.1088/0305-4470/12/4/009Курочкин, Ю. А. Аналог вектора Рунге–Ленца и спектр энергий в задаче Кеплера на трехмерной сфере / Ю. А. Курочкин, В. С. Отчик // Докл. АН БССР. – 1979. – Т. 23, № 11. – С. 987–990.Kurochkin Yu. A., Otchik V. S. An analogue of the Runge–Lenz vector and the energy spectrum in the kepler problem on a three-dimensional sphere. Doklady Akademii nauk BSSR = Doklady of the Academy of Sciences of the BSSR, 1979, vol. 23, no. 11, pp. 987–990 (in Russian).Bogush, A. A. Coulomb scattering in the Lobachevsky space / A. A. Bogush, Yu. A. Kurochkin, V. S. Otchik // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2003. – Vol. 6. – P. 894–897.Bogush A. A., Kurochkin Yu. A., Otchik V. S. Coulomb scattering in the Lobachevsky space. Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2003, vol. 6, pp. 894–897.Bessis, N. Space-curvature effects in atomic fine- and hyperfine-structure calculations / N. Bessis, G. Bessis, R. Shamseddine // Physical Review A. – 1984. – Vol. 29, N 5. – P. 2375–2388. https://doi.org/10.1103/physreva.29.2375Bessis N., Bessis G., Shamseddine R. Space-curvature effects in atomic fine- and hyperfine-structure calculations. Physical Review A, 1984, vol. 29, no. 5, pp. 2375–2388. https://doi.org/10.1103/physreva.29.2375Отчик, В. С. Квантовомеханическая задача Кеплера в пространствах постоянной кривизны / В. С. Отчик, В. М. Редьков. – Минск, 1986. – 49 с. (Препринт / ИФ АН БССР № 298).Otchik V. S., Red’kov V. M. Kepler’s quantum-mechanical problem in spaces of constant curvature. Minsk, 1986. 49 p. (in Russian).Red’kov, V. M. On WkB-quantization in Lobachevsky and Riemann 3-spaces / V. M. Red’kov // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2003. – Vol. 6, N 2. – P. 654–668.Red’kov V. M. On WkB-quantization in Lobachevsky and Riemann 3-spaces. Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2003, vol. 6, no. 2, pp. 654–668.Red’kov, V. M. Parabolic coordinates and the hydrogen atom in spaces H3 and S3 / V. M. Red’kov, E. M. Ovsiyuk // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2011. – Vol. 14, N 2. – P. 1–20.Red’kov V. M., Ovsiyuk E. M. Parabolic coordinates and the hydrogen atom in spaces H3 and S3. Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2011, vol. 14, no. 2, pp. 1–20.Kurochkin, Yu. A. Magnetic field in the Lobachevsky space and related integrable systems / Yu. A. Kurochkin, V. S. Otchik, E. M. Ovsiyuk // Ядерная физика. – 2012. – Т. 75, № 10. – С. 1316–1320.Kurochkin Yu. A., Otchik V. S., Ovsiyuk E. M. Magnetic field in the Lobachevsky space and related integrable systems. Physics of Atomic Nuclei, 2012, vol. 75, no. 10, pp. 1245–1249. https://doi.org/10.1134/s1063778812100122Red’kov, V. M. Quantum mechanics in spaces of constant curvature / V. M. Red’kov, E. M. Ovsiyuk. – New york, 2012. – 434 p.Red’kov V. M., Ovsiyuk E. M. Quantum mechanics in spaces of constant curvature. New York, 2012. 434 p. 15. Ovsiyuk E. M. Exactly solvable problems of quantum mechanics and classical field theory in spaces with non-Euclidean geometry. Minsk, 2013. 406 p. (in Russian).Овсиюк, Е. М. Точно решаемые задачи квантовой механики и классической теории поля в пространствах с неевклидовой геометрией / Е. М. Овсиюк. – Минск, 2013. – 406 с.Овсиюк, Е. М. Точно решаемые задачи квантовой механики и классической теории поля в пространствах с неевклидовой геометрией / Е. М. Овсиюк. – Минск, 2013. – 406 с.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.