danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2021-65-3-263-268dan-970Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSРазрешимость задачи управления асинхронным спектром линейных почти периодических систем с нижнетреугольным представлением усреднения матрицы коэффициентовSolvability of the control problem of the asynchronous spectrum of linear almost periodic systems with a lower triangular representation of the averaging of coefficient matrixДеменчукА. К.DemenchukA. K.

Деменчук Александр Константинович – д-р физ.-мат. наук, доцент, гл. науч. сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск, Республика Беларусь

Aleksandr K. Demenchuk – D. Sc. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Chief Researcher

11, Surganov Str., Minsk, 220072, Republic of Belarus

demenchuk@im.bas-net.byИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus202115072021653263268Copyright © Деменчук А.К., 20212021Деменчук А.К.Demenchuk A.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/970

Рассматривается линейная система управления с почти периодической матрицей коэффициентов и управлением в виде обратной связи, линейной по фазовым переменным. Предполагается, что коэффициент обратной связи является почти периодическим и модуль его частот, т. е. наименьшая аддитивная группа вещественных чисел, включающая все показатели Фурье этого коэффициента, содержится в частотном модуле матрицы коэффициентов. Изучается случай, когда матрица при управлении является вырожденной, а усреднение матрицы коэффициентов приводится к нижнетреугольному виду. Для описанного класса систем ставится задача управления асинхронным спектром с целевым множеством частот, которая заключается в построении такого управления из допустимого множества, чтобы у замкнутой этим управлением системы появились почти периодические решения, множество показателей Фурье которых содержит наперед заданное подмножество, а пересечение модулей частот решения и матрицы коэффициентов тривиально. В работе получены необходимые и достаточные условия разрешимости поставленной задачи.

A linear control system with an almost periodic matrix of coefficients and control in the form of the feedback linear in phase variables is considered. It is assumed that the feedback coefficient is almost periodic and its frequency module, i. e. the smallest additive group of real numbers, including all the Fourier exponents of this coefficient, is contained in the frequency module of the coefficient matrix. The system under consideration is studied in the case of a triangular average value of the matrix of coefficients. For the described class of systems, the control problem of the asynchronous spectrum with a target set of frequencies is solved. This task is to construct such a control from an admissible set that the system closed by this control has almost periodic solutions, a set of the Fourier exponents of which contains a predetermined subset, and the intersection of the solution frequency modules and the coefficient matrix is trivial. The necessary and sufficient conditions for the solvability of this problem are obtained.

почти периодические линейные системынулевое среднее значениепоказатели Фурьесильно нерегулярные колебанияасинхронный спектрReferencesИванов, А. Г. Оптимальное управление почти периодическими движениями / А. Г. Иванов // Прикл. матем. и мех. – 1992. – Т. 56, вып. 5. – С. 837–846.Ivanov A. G. Optimal control of almost-periodic motions. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1992, vol. 56, no. 5, pp. 737–746. https://doi.org/10.1016/0021-8928(92)90059-hИванов, А. Г. Элементы математического аппарата задач почти периодической оптимизации. I / А. Г. Иванов // Изв. Ин-та матем. и информ. Удмуртского гос. ун-та. – 2002. – № 1. – С. 3–100.Ivanov A. G. Elements of the mathematical apparatus in the almost periodic optimization problems. Izvestiya Instituta Matematiki i Informatiki Udmurtskogo Gosudarstvennogo Universiteta [Proceedings of the Institute of Mathematics and Informatics at Udmurt State University], 2002, no. 1, pp. 3–100 (in Russian).Попова, С. Н. Управление асимптотическими инвариантами систем с почти периодическими коэффициентами / С. Н. Попова // Вестн. Удмуртского ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. – 2008. – Вып. 2. – С. 117–118.Popova S. N. Control over asymptotic invariants for the systems with almost periodic coefficients. Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp’yuternye Nauki [Bulletin of Udmurt University. Mathematics. Mechanics. Computer Science], 2008, no. 2, pp. 117–118 (in Russian). https://doi.org/10.20537/vm080238Курцвейль, Я. О периодических и почти периодических решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Я. Курцвейль, О. Вейвода // Чехосл. матем. журн. – 1955. – Т. 5, № 3. – С. 362–370. https://doi.org/10.21136/cmj.1955.100152Kurzweil J., Veivoda O. On the periodic and almost periodic solutions of a system of ordinary differential equations. Czehoslovak Mathematical Journal, 1955, vol. 5, no. 3, pp. 362–370 (in Russian). https://doi.org/10.21136/cmj.1955.100152Massera, J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales / J. L. Massera // Bol. de la Facultad de Ingenieria Montevideo. – 1950. – Vol. 4, N 1. – P. 37–45.Massera J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales. Bol. de la Facultad de Ingenieria Montevideo, 1950, vol. 4, no. 1, pp. 37–45 (in Spanish).Деменчук, А. К. Необходимое условие разрешимости задачи управления асинхронным спектром линейных почти периодических систем с нулевым средним матрицы коэффициентов / А. К. Деменчук // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2019. – Т. 55, № 2. – С. 176–181. https://doi.org/10.29235/1561-2430- 2019-55-2-176-181Demenchuk A. K. Necessary condition for solvability of the control problem of an asynchronous spectrum of linear almost periodic systems with trivial averaging of the coefficient matrix. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2019, vol. 55, no. 2, pp. 176–181 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-2-176-181Деменчук, А. К. Управление асинхронным спектром линейных почти периодических систем с диагональным усреднением матрицы коэффициентов / А. К. Деменчук // Дифференц. уравнения. – 2021. – Т. 57, № 4. – С. 466–472. https://doi.org/10.31857/s0374064121040026Demenchuk A. K. The control problem of the asynchronous spectrum of linear almost periodic systems with the diagonal averaging of the coefficient matrix. Differentsial’nye uravneniya = Differention Equations, 2021, vol. 57, no. 4, pp. 466–472 (in Russian). https://doi.org/10.31857/s0374064121040026Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. – М., 1953. – 492 с.Gantmaher F. R. The Matrix Theory. Moscow, 1953. 396 p. (in Russian).Demenchuk, А. K. Partially irregular almost periodic solutions of ordinary differential systems / A. K. Demenchuk // Mathematica Bohemica. – 2001. – Vol. 126, N 1. – P. 221–228. https://doi.org/10.21136/mb.2001.133916Demenchuk А. К. Partially irregular almost periodic solutions of ordinary differential systems. Mathematica Bohemica, 2001, vol. 126, no. 1, pp. 221–228. https://doi.org/10.21136/mb.2001.133916

The authors declare that there are no conflicts of interest present.