danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2021-65-4-391-396dan-985Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSОбобщение теоремы Лакса–Рябенького–Филиппова на нелинейные задачиGeneralization of the Lax–Ryabenky–Philippov theorem to nonlinear problemsМатусП. П.MatusP. P.

Матус Петр Павлович – член-корреспондент, д-р физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Люблин

Matus Piotr P. – Corresponding Member, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief researcher

11, Surganov Str., 220072, Minsk

Lublin

piotr.p.matus@gmail.comИнститут математики Национальной академии наук Беларуси; Католический университет ЛюблинаInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus; Institute of Mathematics and Computer Science the John Paul II Catholic University of Lublin202101092021654391396Copyright © Матус П.П., 20212021Матус П.П.Matus P.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/985

Теорема эквивалентности Лакса, утверждающая, что при наличии аппроксимации разностной схемы устойчивость является необходимым и достаточным условием ее сходимости, обобщается на абстрактные нелинейные разностные задачи с операторами, действующими в конечномерных банаховых пространствах. В отличие от линейных конечно-разностных методов, такой критерий в нелинейном случае удается установить лишь для безусловно устойчивых вычислительных методов, когда соответствующие априорные оценки имеют место при достаточно малом |h| ≤ h0. При этом величина h0 зависит как от согласованности дискретных и непрерывных норм в банаховых пространствах, так и от величины возмущения входных данных задачи. Доказанный критерий сходимости применяется для исследования устойчивости по начальным данным разностных схем, аппроксимирующих квазилинейные параболические уравнения с нелинейностями неограниченного роста.

In this paper, Lax’s equivalence theorem, which states that stability is a necessary and sufficient condition for its convergence in the presence of an approximation of a difference scheme, is generalized to abstract nonlinear difference problems with operators acting in finite dimensional Banach spaces. In contrast to linear finite-difference methods, such a criterion in the nonlinear case can be established only for unconditionally stable computational methods, when the corresponding a priori estimates take place for sufficiently small |h| ≤ h0. In this case, the value of h0 depends both on the consistency of discrete and continuous norms in Banach spaces, and on the magnitude of the perturbation of the input data of the problem. The proven convergence criterion is used to study the stability of difference schemes approximating quasilinear parabolic equations with nonlinearities of unbounded growth with respect to the initial data.

аппроксимацияустойчивостьсходимостьразностная схемаapproximationstabilityconvergencedifference schemeReferencesРябенький, В. С. Об устойчивости разностных схем / В. С. Рябенький, А. Ф. Филиппов. – М., 1956.Riabenkii V. S. On the stability of difference schemes. Moscow, 1956 (in Russian).Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М., 1977. – 656 с.Samarskii A. A. Theory of difference schemes. New York, 2001.Рихтмайер, Р. Разностные методы решения краевых задач / Р. Рихтмайер, К. Мортон. – М., 1960. – 418 с.Rychtmyer R. D., Morton K. W. Difference Methods for Initial-Value Problems. New York, 1967.Guo, Ben-Yu (Kuo Pen-Yu). Generalized stability of discretization and its applications to numerical solutions of non-linear partial differential equations / Ben-Yu Guo // Zh. Vychisl. Mat. Mat.-Fiz. – 1992. – Vol. 32, N 4. – P. 530–541.Guo Ben-Yu (Kuo Pen-Yu). Generalized stability of discretization and its applications to numerical solutions of nonlinear partial differential equations. Zhurnal Vychislitel’noi Matematiki i Matematicheskoj Fiziki, 1992, vol. 32, no. 4, pp. 530–541.Самарский, А. А. Разностные схемы с операторными множителями / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич, П. П. Матус. – Минск, 1998. – 442 с.Samarskii A. A., Vabishchevich P. N., Matus P. P. Difference schemes with operator factors. Minsk, 1998. 432 p. (in Russian).Абрашин, В. Н. Разностные схемы для нелинейных гиперболических уравнений. I / В. Н. Абрашин // Дифференц. уравнения. – 1973. – Т. 9, № 11. – С. 2029–2040.Abrashin V. N. Difference schemes for nonlinear hyperbolic equations. Differential equations, 1973, vol. 9, no. 11, pp. 2029–2040 (in Russian).Ляшко, А. Д. Исследование нелинейных двухслойных операторно-разностных схем с весами / А. Д. Ляшко, Е. М. Федотов // Дифференц. уравнения. – 1985. – Т. 21, № 7. – С. 1217–1227.Lyashko A. D., Fedotov E. M. Investigation of nonlinear two-layer operator-difference schemes with weights. Differential equations, 1985, vol. 21, no. 7, pp. 1217–1227 (in Russian).Матус, П. П. О безусловной сходимости разностных схем для нестационарных квазилинейных уравнений математической физики / П. П. Матус, Л. В. Станишевская // Дифференц. уравнения. – 1991. – Т. 27, № 7. – С. 1203–1219.Matus P. P., Stanishevskaya L. V. Unconditional convergence of difference schemes for nonstationary quasilinear equations of mathematical physics. Differential equations, 1991, vol. 27, no. 7, pp. 847–859.Matus, P. On Convergence of Difference Schemes for IBVP for Quasilinear Parabolic Equations with Generalized Solutions // Comp. Meth. Appl. Math. – 2014. – Vol. 14, N 3. – P. 361–371. https://doi.org/10.1515/cmam-2014-0008Matus P. On Convergence of Difference Schemes for IBVP for Quasilinear Parabolic Equations with Generalized Solutions. Computational Methods in Applied Mathematics, 2014, vol. 14, no. 3, pp. 361–371. https://doi.org/10.1515/cmam-2014-0008

The authors declare that there are no conflicts of interest present.