danДоклады Национальной академии наук БеларусиDoklady of the National Academy of Sciences of Belarus1561-83232524-2431The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-8323-2021-65-4-397-403dan-986Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSДиофантовы приближения с постоянной правой частью неравенств на коротких интервалахDiophantine approximation with the constant right-hand side of inequalities on short intervalsБерникВ. И.BernikV. I.

Берник Василий Иванович – д-р физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Bernik Vasiliy I. – D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief researcher

11, Surganov Str., 220072, Minsk 

bernik.vasili@mail.ruВасильевД. В.VasilyevD. V.

Васильев Денис Владимирович – канд. физ.-мат. наук

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Vasilyev Denis V. – Ph. D. (Physics and Mathematics)

11, Surganov Str., 220072, Minsk 

vasilyev@im.basnet.byЗасимовичЕ. В.ZasimovichE. V.

Засимович Елена Васильевна – аспирант

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Zasimovich Elena V. – Postgraduate student

11, Surganov Str., 220072, Minsk 

elena.guseva.96@yandex.byИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus202101092021654397403Copyright © Берник В.И., Васильев Д.В., Засимович Е.В., 20212021Берник В.И., Васильев Д.В., Засимович Е.В.Bernik V.I., Vasilyev D.V., Zasimovich E.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://doklady.belnauka.by/jour/article/view/986

В метрической теории диофантовых приближений одной из основных задач, приводящих к точным характеристикам в классификациях Малера и Коксмы, является оценка меры Лебега множества точек x ∈ B ⊂ I интервала I, для которых выполняется неравенство | P (x) | < Q-w, w > n, Q >1 для полиномов P(x) ∈ Z[x], deg P ≤ n, H(P) ≤Q. В разных промежутках изменения w методы получения оценок разные. В данной работе при w>n +1 мы получаем оценку µ B< c1(n) Q – (w-1/n). Наилучшая к настоящему времени оценка имела вид c2(n) Q –(w- n/n).

In the metric theory of Diophantine approximations, one of the main problems leading to exact characteristics in the classifications of Mahler and Koksma is to estimate the Lebesgue measure of the points x ∈ B ⊂ I from the interval I such as the inequality | P (x) | < Q-w, w > n, Q >1 for the polynomials P(x) ∈ Z[x], deg P ≤ n, H(P) ≤Q is satisfied. The methods of obtaining estimates are different at different intervals of w change. In this article, at w > n +1 we get the estimate µ B< c1(n) Q – (w-1/n). The best estimate to date was c2(n) Q –(w- n/n).

диофантовы приближениякороткие интервалыгипотеза Малератеорема ДирихлеDiophantine approximationshort intervalsMahler’s conjectureDirichlet’s theoremReferencesKhintchine, A. Einige Sätze über Kettenbrüche mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen / A. Khinchine // Mathematische Annalen. – 1924. – Vol. 92, N 1–2. – P. 115–125. https://doi.org/10.1007/bf01448437Khintchine A. Einige Sätze über Kettenbrüche mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen. Mathematische Annalen, 1924, vol. 92, no. 1–2, pp. 115–125 (in German). https://doi.org/10.1007/bf01448437Касселс, Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений / Дж. В. С. Касселс. – М., 1961. – 213 с.Kassels Dzh. V. S. Introduction to the theory of Diophantine approximations. Moscow, 1961. 213 р. (in Russian).Шмидт, В. Диофантовы приближения / В. Шмидт. – М., 1983. – 228 с.Shmidt V. Diophantine approximations. Moscow, 1983. 228 р. (in Russian).Спринджук, В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел / В. Г. Спринджук. – Минск, 1967. – 181 с.Sprindzhuk V. G. Mahler’s problem in metric number theory. Minsk, 1967. 181 p. (in Russian).Bernik, V. I. Metric Diophantine Approximation on Manifolds / V. I. Bernik, M. M. Dodson. – Cambridge, 1999. https://doi.org/10.1017/cbo9780511565991Bernik V. I., Dodson M. M. Metric Diophantine Approximation on Manifolds. Cambridge, 1999. https://doi.org/10.1017/cbo9780511565991Budarina, N. On the rate of convergence to zero of the measure of extremal sets in metric theory of transcendental numbers / N. Budarina // Math. Z. – 2019. – Vol. 293, N 1–2. – P. 809–824. https://doi.org/10.1007/s00209-018-2211-1Budarina N. On the rate of convergence to zero of the measure of extremal sets in metric theory of transcendental numbers. Mathematische Zeitschrift, 2019, vol. 293, no. 1–2, pp. 809–824. https://doi.org/10.1007/s00209-018-2211-1Dirichlet, L. G. P. Verallgemeinerung eines Satzes aus der Lehre von den Kettenbrüchen nebst einigen Anwendungen auf die Theorie der Zahlen / L. G. P. Dirichlet // G. Lejeune Dirichlet’s Werke. – 1842. – P. 633–638. https://doi.org/10.1017/cbo9781139237338.037Dirichlet P. G. L. Verallgemeinerung eines Satzes aus der Lehre von den Kettenbrüchen nebst einigen Anwendungen auf die Theorie der Zahlen. G. Lejeune Dirichlet’s Werke, 1842, pp. 633–638 (in German). https://doi.org/10.1017/cbo9781139237338.037Khintchine, A. Zur metrischen Theorie der diophantischen Approximationen / A. Khintchine // Mathematische Zeitschrift. – 1926. – Vol. 24, N 1. – P. 706–714. https://doi.org/10.1007/bf01216806Khintchine A. Zur metrischen Theorie der diophantischen Approximationen. Mathematische Zeitschrift, 1926, vol. 24, no. 1, pp. 706–714 (in German). https://doi.org/10.1007/bf01216806Bernik, V. I. The exact order of approximating zero by values of integral polynomials / V. I. Bernik // Acta Arith. – 1989. – Vol. 53, N 1. – P. 17–28.Bernik V. I. The exact order of approximating zero by values of integral polynomials. Acta Arithmetica, 1989, vol. 53, no. 1, pp. 17–28.Арнольд, В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике / В. И. Арнольд // Успехи математ. наук. – 1963. – Т. 18, № 6(114). – С. 91–192.Arnol’d V. I. Small denominators and problems of stability of motion in classical and celestial mechanics. Russian Mathematical Surveys, 1963, vol. 18, no. 6, pp. 85–191. https://doi.org/10.1070/rm1963v018n06abeh001143Beresnevich, V. Sums of reciprocals of fractional parts and multiplicative Diophantine approximation / V. Beresnevich, A. Haynes, S. S. Velani // Memoirs of the American Mathematical Society. – 2020. – Vol. 263, N 1276. https://doi.org/10.1090/memo/1276Beresnevich V., Haynes A., Velani S. Sums of reciprocals of fractional parts and multiplicative Diophantine approximation. Memoirs of the American Mathematical Society, 2020, vol. 263, no. 1276. https://doi.org/10.1090/memo/1276Спринджук, В. Г. Доказательство гипотезы Малера о мере множества S-чисел / В. Г. Спринджук // Изв. АН СССР, сер. матем. – 1965. – Т. 29, № 2. – С. 379–436.Sprindzhuk V. G. A proof of Mahler’s conjecture on the measure of the set of S-numbers. Izvestiya Akademii nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya = Mathematics of the USSR – Izvestiya, 1965, vol. 29, no. 2, pp. 379–436 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.