Монотонные разностные схемы для квазилинейных параболических уравнений с коэффициентами реакции произвольного знака

Установлены непрерывные и дискретные двусторонние оценки для класса квазилинейных параболических уравнений конвекции–диффузии–реакции с неограниченными нелинейностями и коэффициентами реакции произвольного знака. Для неположительных коэффициентов реакции выведены строгие непрерывные двусторонние оценки для классических решений, а также априорная оценка в сильной C-норме. Полученные результаты структурно непротиворечивым образом расширяют соответствующую теорию, доступную для линейных параболических задач. Для коэффициентов реакции произвольного знака построены безусловно монотонные схемы второго порядка. С помощью преобразования Ладыженской u = ve^λt выведены альтернативные дискретные двусторонние оценки для численного решения, которые, как показано, полностью согласуются с их непрерывными аналогами.

Сходимость разработанных схем строго доказана в L₂-норме.

1. Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., Ural’tseva, N. N. Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type. Moscow, 1967. 736 p. (in Russian).

2. Friedman A. Partial Differential Equations of Parabolic Type. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1964. 347 p.

3. Farago I., Horvath R. Discrete maximum principle and adequate discretizations of linear parabolic problems. SIAM Journal on Scientific Computing, 2006, vol. 28, no. 6, pp. 2313–2336. https://doi.org/10.1137/050627241

4. Fujii H. Some remarks on finite element analysis of time-dependent field problems. Theory and Practice of Finite Element Structural Analysis, 1973, pp. 91–106.

5. Keller H. B. The numerical solution of parabolic partial differential equations. Ralston A., Wilf H. S., eds. Mathematical Methods for Digital Computers. New York, 1960, pp. 135–143.

6. Stys T., Motsumi T., Daman O. On the maximum principle and its application to diffusion equations. Numerical Methods for Partial Differential Equations, 2007, vol. 23, no. 1, pp. 60–72. https://doi.org/10.1002/num.20168

7. Farago I., Karatson J., Korotov S. Discrete maximum principles for nonlinear parabolic PDE systems. IMA Journal of Numerical Analysis, 2012, vol. 32, no. 4, pp. 1541–1573. https://doi.org/10.1093/imanum/drr050

8. Samarskii A. A. The Theory of Difference Schemes. New York, 2001. 786 p. https://doi.org/10.1201/9780203908518

9. Samarskii A. A., Matus P. P., Vabishchevich P. N. Difference Schemes with Operator Factors. Dordrecht, 2002. https://doi.org/10.1007/978-94-015-9874-3

10. Matus P. P. The maximum principle and some of its applications. Computational Methods in Applied Mathematics, 2002, vol. 2, no. 1, pp. 50–91. https://doi.org/10.2478/cmam-2002-0004

11. Matus P. P., Gaspar F. J., Hieu L. M., Tuyen V. T. K. Monotone difference schemes for weakly coupled elliptic and parabolic systems. Computational Methods in Applied Mathematics, 2017, vol. 17, no. 2, pp. 287–298. https://doi.org/10.1515/cmam-2016-0046

12. Matus P. P., Hieu L. M., Vulkov L. G. Analysis of second order difference schemes on non-uniform grids for quasilinear parabolic equations. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2017, vol. 310, pp. 186–199. https://doi.org/10.1016/j.cam.2016.04.006

13. Hieu L. M., Xuan N. H. N., Thanh D. N. H. On the nonstandard maximum principle and its application for construction of monotone finite-difference schemes for multidimensional quasilinear parabolic equations. Ukrainian Mathematical Journal, 2024, vol. 76, no. 1, pp. 141–156. https://doi.org/10.1007/s11253-024-02313-y

14. Matus P. P., Hieu L. M., Pylak D. Monotone finite-difference schemes of second-order accuracy for quasilinear parabolic equations with mixed derivatives. Differential Equations, 2019, vol. 55, no. 3, pp. 424–436. https://doi.org/10.1134/ S0012266119030157

15. Matus P. P., Rybak I. V. Monotone difference schemes for nonlinear parabolic equations. Differential Equations, 2003, vol. 39, no. 7, pp. 1013–1022. https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000009197.94879.5c