HAUSDORFF DIMENSION OF THE SET OF REAL, COMPLEX AND P-ADIC NUMBERS WITH A GIVEN ORDER OF THE ALGEBRAIC NUMBER APPROXIMATION
Abstract
In this article we found the value of the Hausdorff dimension of a set of points in the space of real, complex and p-adic numbers that are approximated with a given order by algebraic numbers. The proof is based both on the metric theorem on the exact order of a simultaneous approximation of zero in this space and on the construction of a regular system of real algebraic numbers, complex algebraic numbers and p-adic algebraic numbers of p
About the Author
A. V. LUNEVICH
Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus
Belarus
Belarus
References
1. Касселс, Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений / Дж. В. С. Касселс. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1961.
2. Jarnik, V. Diophantische Approximationen und Hausdorffsches Mass / V. Jarnik // Матем. сб. – М., 1929. – Т. 36. – С. 371–382.
3. Besicovitch, A. S. Sets of fractional dimension (IV): On rational approximations to real numbers / A. S. Besicovich // J. London Math. Soc. – 1934. – Vol. 9. – P. 126–131.
4. Mahler, K. Uber das Mass der Menge aller S-Zahlen / K. Mahler // Math. Ann. – 1932. – Vol. 3, N 106. – P. 131–139.
5. Спринджук, В. Г. Проблема Mалера в метрической теории чисел / В. Г. Спринджук. – Минск: Наука и техника, 1967.
6. Baker, A. Diophantine approximation and Hausdorff dimension / A. Baker, W. M. Schmidt // Proc. London Math. Soc. – 1970. – Vol. 3, N 21. – P. 1–11.
7. Берник, В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений / В. И. Берник // Acta Arithm. – 1983. – Vol. 42, N 3. – P. 219–253.
8. Rynne, P. Hausdorff dimension and generalized simultaneous diophantine approximation / P. Rynne // Bulletin of the London Mathematical Society. – 1998. – Vol. 30, N 4. – P. 365– 376.
9. Dickinson, H. Extremal manifolds and Hausdorff dimension / H. Dickinson, M. Dodson // uke Math. – 2000. – Vol. 101, N 2. – P. 271–281.
10. Bernik, V. I. A divergent Khitchine’s theorem in the real, complex and p-adic felds / V. I. Bernik, N. Budarina, D. Dickinson // Lithunian Mathematical J. – 2008. – Vol. 48, N 2. – P. 158–173.
11. Гётце, Ф. Алгебраические числа в коротких интервалах / Ф. Гётце, А. Г. Гусакова // Докл. НАН Беларуси. – 2014. – Т. 59, № 4. – С. 11–16.
12. Шамукова, Н. В. Об оценке сверху размерности Хаусдорфа в совместных приближениях алгебраическими числами / Н. В. Шамукова, Д. В. Коледа, А. В. Луневич // Материалы XII Междунар. конф. «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвящ. восьмидесятилетию проф. Виктора Николаевича Латышева. – Минск, 2014. – С. 99–100.
Review
Views: 806
Email this article 