Метрическая теория диофантовых приближений и асимптотические оценки для количества многочленов с заданными дискриминантами, делящимися на большую степень простого числа

Дискриминанты многочленов характеризуют распределение корней полиномов на комплексной плоскости. В последние годы для целочисленных многочленов найдены точные оценки для количества многочленов заданной степени и высоты. Метод получения оценок основан на теоремах Минковского в геометрии чисел и метрической теории диофантовых приближений. Предложен новый метод, позволяющий получать оценки сверху для количества многочленов с ограниченными дискриминантами в архимедовой и неархимедовой метриках. В методе обобщены идеи Х. Давенпорта, Б. Фолькмана и В. Спринджука, позволившие им получить существенные продвижения при решении проблемы Малера.

1. Спринджук, В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел / В. Г. Спринджук. – Минск, 1967. – 181 c.

2. Metric Diophantine approximation: the Khintchine–Groshev theorem for nondegenerate manifolds / V. V. Beresnevich [et al.] // Mosc. Math. J. – 2002. – Vol. 2, N 2. – P. 203–225. https://doi.org/10.17323/1609-4514-2002-2-2-203-225

3. Бударина, Н. В. Метрическая теория совместных диофантовых приближений в klm   × × p / Н. В. Бударина // Чебышевский сб. – 2011. – Т. 12, № 1. – С. 17–50.

4. Kleinbock, D. Y. Flows on Homogeneous Spaces and Diophantine Approximation on Manifolds / D. Y. Kleinbock, G. A. Margulis // Annals of Mathematics. – 1998. – Vol. 148, N 1. – P. 339–360. https://doi.org/10.2307/120997

5. Берник, В. И. Метрическая теорема о совместном приближении нуля значениями целочисленных многочленов / В. И. Берник // Изв. АН СССР, сер. математ. – 1980. – Т. 44, № 1. – С. 24–45.

6. Спринджук, В. Г. Достижения и проблемы теории диофантовых приближений / В. Г. Спринджук // Успехи мат. наук. – 1980. – Т. 35, № 4. – С. 3–68.

7. Вклад Йонаса Кубилюса в метрическую теорию диофантовых приближений зависимых переменных / В. В. Бересневич [и др.] // Журн. БГУ. Математика. Информатика. – 2021. – № 3. – С. 34–50.

8. Khintchine, A. Einige Sätze über Kettenbrüche, mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen / A. Khintchine // Mathematische Annalen. – 1924. – Vol. 92, N 1–2. – P. 115–125. https://doi.org/10.1007/bf01448437

9. Bernik, V. I. The exact order of approximating zero by values of integral polynomials / V. I. Bernik // Acta Arith. – 1989. – Vol. 53, N 1. – P. 17–28.

10. Beresnevich, V. On approximation of real numbers by real algebraic numbers / V. Beresnevich // Acta Arith. – 1999. – Vol. 90, N 2. – P. 97–112. https://doi.org/10.4064/aa-90-2-97-112

11. Берник, В. И. Теорема Хинчиновского типа для целочисленных полиномов от комплексной переменной / В. И. Берник, Д.В. Васильев // Тр. Ин-та математики. – 1999. – № 3. – С. 10–20.

12. Beresnevich, V. V. On approximation of p-adic numbers by p-adic algebraic numbers / V. V. Beresnevich, V. I. Bernik, E. I. Kovalevskaya // J. Number Theory. – 2005. – Vol. 111, N 1. – P. 33–56. https://doi.org/10.1016/j.jnt.2004.09.007

13. Берник, В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений / В. И. Берник // Acta Arith. – 1983. – Vol. 42, N 3. – P. 219–253.

14. Берник, В. И. Приближение нуля значениями целочисленных полиномов в пространстве    × × p / В. И. Берник, Н. И. Калоша // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. физ.-мат. навук. – 2004. – № 1. – С. 121–123.

15. Bernik, V. I. Metric Diophantine approximation on manifolds / V. I. Bernik, M. M. Dodson // Cambridge Tracts in Mathematics. – 1999. – N 137. – 172 p. https://doi.org/10.1017/cbo9780511565991