Об одном усилении теоремы Массеры о существовании периодических решений линейных дифференциальных периодических систем

Аннотация

Согласно теореме Массеры обыкновенная дифференциальная линейная неоднородная периодическая система имеет периодическое решение с периодом, совпадающим с периодом системы, если и только если эта система имеет ограниченное решение. В работе вводится класс L вектор-функций, названных растущими медленнее линейной функции, содержащий класс B ограниченных вектор-функций в качестве собственного подкласса. Доказано, что приведенная выше теорема Массеры останется верной, если в ее формулировке ограниченное решение заменить решением, растущим медленнее линейной функции. Показано, что множество B в метрическом пространстве (L, dist_c ), где dist_c – метрика равномерной сходимости вектор-функций на отрезках, имеет первую категорию по Бэру, т. е. почти все в смысле категории вектор-функции пространства (L, dist_c ) не являются ограниченными, что показывает существенность полученного усиления теоремы Массеры.