Компактные разностные схемы для параболических уравнений на основе методов Рунге–Кутты
https://doi.org/10.29235/1561-8323-2026-70-1-7-13
Аннотация
Впервые строятся устойчивые экономичные компактные разностные схемы порядка точности 2 + 4 и 4 + 4 для простейшего параболического уравнения на основе использования идеи метода прямых и методов Рунге–Кутты для решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. При построении вычислительного алгоритма используется только трехточечный шаблон при аппроксимации уравнения по пространственной переменной, что позволяет использовать известный метод прогонки для обращения обратной матрицы за O(N) арифметических операций, где N – число точек сетки по пространству. Построение компактных схем аналогичного порядка на основе обычного интегро-интерполяционного метода приводит лишь к абсолютно неустойчивым алгоритмам. Показаны результаты вычислительного эксперимента, иллюстрирующие эффективность предложенного алгоритма.
Об авторах
П. П. Матус
Институт математики Национальной академии наук Беларуси
Беларусь
Беларусь
Матус Петр Павлович – член-корреспондент, д-р физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотрудник.
Ул. Сурганова, 11, 220072, Минск
В. Т. К. Туен
Институт математики Национальной академии наук Беларуси
Беларусь
Беларусь
Туен Во Тхи Ким – канд. физ.-мат. наук, науч. сотрудник.
Ул. Сурганова, 11, 220072, Минск
Б. В. Фалейчик
Белорусский государственный университет
Беларусь
Беларусь
Фалейчик Борис Викторович – канд. физ.-мат. наук, доцент.
Пр. Независимости, 4, 220030, Минск
Список литературы
1. Консервативные компактные и монотонные разностные схемы четвертого порядка для одномерных и двумерных квазилинейных уравнений / П. П. Матус, Г. Ф. Громыко, В. Д. Утебаев, В. Т. К. Туен // Дифференциальные уравнения. – 2025. – Т. 61, № 8. – С. 1117–1134. https://doi.org/10.7868/s3034503025080097
2. Самарский, А. А. Схемы повышенного порядка точности для многомерного уравнения теплопроводности / А. А. Самарский // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1963. – Т. 3, № 5. – С. 812–840.
3. Матус, П. П. Консервативные компактные и монотонные разностные схемы четвертого порядка для квазилинейных уравнений / П. П. Матус, Г. Ф. Громыко, Б. Д. Утебаев // Доклады Национальной академии наук Беларуси. – 2024. – Т. 68, № 1. – С. 7–14. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2024-68-1-7-14
4. Матус, П. П. Трехслойные компактные разностные схемы для гиперболического уравнения теплопроводности / П. П. Матус, В. Т. К. Туен, Б. Д. Утебаев // Математическое моделирование. – 2025. – Т. 37, № 4. – С. 51–67.
5. Широбоков, Н. В. Диагонально-неявные схемы Рунге–Кутты / Н. В. Широбоков // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2002. – Т. 42, № 7. – С. 1013–1018.
6. Рогов, Б. В. О сходимости компактных разностных схем / Б. В. Рогов, М. Н. Михайловская // Математическое моделирование. – 2008. – Т. 20, № 1. – С. 99–117.
7. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. – М., 1970. – 720 с.
8. Скворцов, Л. М. О неявных методах Рунге–Кутты, полученных в результате обращения явных методов / Л. М. Скворцов // Математическое моделирование. – 2017. – Т. 29, № 1. – С. 3–19.
9. Исполов, Ю. Г. Построение методов и организация алгоритмов численного интегрирования нестационарной задачи теплопроводности / Ю. Г. Исполов, Е. А. Постоялкина, Н. Н. Шабров // Дифференциальные уравнения и процессы управления. – 2002. – № 2. – С. 1–25.
10. Hundsdorfer, W. Numerical Solution of Time-Dependent Advection–Diffusion–Reaction Equations / W. Hundsdorfer, J. Verwer. – Berlin, Heidelberg: Springer, 2003. – 472 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-09017-6
11. Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи / Э. Хайрер, Г. Ваннер. – М., 1999. – 685 с.
12. Самарский, А. А. Устойчивость разностных схем / А. А. Самарский, А. В. Гулин. – М., 1973. – 416 с.
13. Wang, T. Convergence of an eight-order compact difference scheme for the nonlinear Schrödinger equation / T. Wang // Advances in Numerical Analysis. – 2012. – Vol. 2012. – Art. 913429. https://doi.org/10.1155/2012/913429
Рецензия
Просмотров:
252
JATS XML
Послать статью по эл. почте 