Условия разрешимости задачи управления асинхронным спектром линейных периодических систем с левым верхним постоянным блоком матрицы коэффициентов

Рассматривается линейная система управления с периодической матрицей коэффициентов и программным управлением. Матрица при управлении постоянная, число столбцов не превосходит числа строк и ее ранг меньше числа столбцов. Предполагается, что управление является нетривиальным периодическим, при этом модуль его частот, т. е. наименьшая аддитивная группа вещественных чисел, включающая все показатели Фурье этого управления, содержится в частотном модуле матрицы коэффициентов. Для рассматриваемой системы ставится задача управления асинхронным спектром: построить такое управление из допустимого множества, чтобы система имела сильно нерегулярные периодические решения. В таком случае период решения несоизмерим с периодом системы. Ранее решение сформулированной задачи осуществлялось для различных случаев вырождения среднего значения матрицы коэффициентов. В настоящей работе реализуется новый подход, касающийся непосредственно самой матрицы коэффициентов. В предположении стационарности ее левого верхнего и максимального столбцового ранга осциллирующей части правого верхнего блоков для рассматриваемого класса систем получены необходимые, а также достаточные условия разрешимости задачи управления асинхронным спектром.

1. Зубов, В. И. Лекции по теории управления / В. И. Зубов. – М., 1975. – 495 c.

2. Макаров, Е. К. Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем / Е. К. Макаров, С. Н. Попова. – Мн., 2012. – 407 c.

3. Асинхронное возбуждение незатухающих колебаний / Д. И. Пеннер, Д. Б. Дубошинский, М. И. Козаков [и др.] // Успехи физических наук. – 1973. – Т. 109, вып. 2. – C. 402–406. https://doi.org/10.3367/ufnr.0109.197302j.0402

4. Massera, J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales / J. L. Massera // Boletin de la Facultad de Ingenieria. – 1950. – Vol. 4, N 1. – P. 37–45.

5. Курцвейль, Я. О периодических и почти периодических решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Я. Курцвейль, О. Вейвода // Чехословацкий математический журнал. – 1955. – Т. 5, № 3. – С. 362–370. https://doi.org/10.21136/cmj.1955.100152

6. Еругин, Н. П. О периодических решениях дифференциальных уравнений / Н. П. Еругин // Прикладная математика и механика. – 1956. – Т. 20, вып. 1. – С. 148–152.

7. Гайшун, И. В. Уравнения в полных производных с периодическими коэффициентами / И. В. Гайшун // Доклады АН БССР. – 1979. – Т. 23, № 8. – С. 684–686.

8. Грудо, Э. И. О периодических решениях с несоизмеримыми периодами линейных неоднородных периодических дифференциальных систем / Э. И. Грудо, А. К. Деменчук // Дифференциальные уравнения. – 1987. – Т. 23, № 3. – С. 409–416.

9. Ласунский, А. В. О периоде решений дискретного периодического логистического уравнения / А. В. Ласунский // Труды Карельского научного центра Российской академии наук. – 2012. – № 5. – С. 44–48.

10. Борухов, В. Т. Сильно инвариантные подпространства неавтономных линейных периодических систем и их решения с периодом, несоизмеримым с периодом системы / В. Т. Борухов // Дифференциальные уравнения. – 2018. – Т. 54, № 5. – С. 585–591. https://doi.org/10.1134/s0374064118050035

11. Деменчук, А. К. Управление асинхронным спектром линейных систем с нулевым средним значением матрицы коэффициентов / А. К. Деменчук // Труды Института математики. – 2018. – Т. 26, № 1. – С. 31–34.

12. Деменчук, А. К. Управление асинхронным спектром линейных систем с невырожденным диагональным блоком усреднения матрицы коэффициентов / А. К. Деменчук // Труды Института математики. – 2022. – Т. 30, № 1–2. – С. 22–29.

13. Деменчук, А. К. Управление асинхронным спектром линейных систем с матрицей при управлении максималь ного ранга / А. К. Деменчук // Труды Института математики. – 2019. – Т. 27, № 1–2. – С. 23–28.

14. Деменчук, А. К. Асинхронные колебания в дифференциальных системах. Условия существования и управления / А. К. Деменчук. – Saarbrucken, 2012. – 186 c.

15. Левитан, Б. М. Почти-периодические функции / Б. М. Левитан. – М., 1953. – 396 с.