О распределении алгебраических чисел, имеющих заданную степень над числовым полем

Рассматривается вопрос о том, как для заданного числового поля K распределены в R и в C алгебраические числа α фиксированной степени deg Kα = n и высоты H Q ( ) α ≤ при Q → ∞. Установлена асимптотика количества таких алгебраических чисел, лежащих во множестве S ⊂ C, в случаях, когда S – интервал вещественной прямой или область комплексной плоскости с липшицевой границей. В частности, показано, что асимптотическая плотность распределения таких алгебраических чисел полностью определяется их степенью над K, внутренним устройством высотной функции H и тем, какое поле – R или C – получается при пополнении поля K по архимедовой метрике.

1. Lang, S. Diophantine Geometry / S. Lang. – New York; London, 1962. – 170 p. (Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, Vol. 11).

2. Schanuel, S. H. Heights in number fields / S. H. Schanuel // Bulletin de la Société Mathématique de France. – 1979. – Vol. 107. – P. 433–449. https://doi.org/10.24033/bsmf.1905

3. Schmidt, W. M. Northcott’s theorem on heights I. A general estimate / W. M. Schmidt // Monatshefte für Mathematik. – 1993. – Vol. 115. – P. 169–181. https://doi.org/10.1007/BF01311215

4. Masser, D. Counting algebraic numbers with large height II / D. Masser, J. D. Vaaler // Transactions of the American Mathematical Society. – 2007. – Vol. 359, N 1. – P. 427–445. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-06-04115-8

5. Widmer, M. Counting primitive points of bounded height / M. Widmer // Transactions of the American Mathematical Society. – 2010. – Vol. 362. – P. 4793–4829. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-10-05173-1

6. Widmer, M. Integral points of fixed degree and bounded height / M. Widmer // International Mathematics Research Notices. – 2016. – Vol. 2016, N 13. – P. 3906–3943. https://doi.org/10.1093/imrn/rnv268

7. Koleda, D. On the density function of the distribution of real algebraic numbers / D. Koleda // Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux. – 2017. – Vol. 29, N 1. – P. 179–200. https://doi.org/10.5802/jtnb.975

8. Götze, F. Distribution of complex algebraic numbers / F. Götze, D. Kaliada, D. Zaporozhets // Proceedings of the American Mathematical Society. – 2017. – Vol. 145, N 1. – P. 61–71. https://doi.org/10.1090/proc/13208

9. Götze, F. Joint distribution of conjugate algebraic numbers: a random polynomial approach / F. Götze, D. Koleda, D. Zaporozhets // Advances in Mathematics. – 2020. – Vol. 359. – Art. 106849. https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.106849

10. Шабат, Б. В. Введение в комплексный анализ / Б. В. Шабат. – 2 изд. – М., 1976. – Ч. II: Функции нескольких переменных. – 400 с.