ALGEBRAIC NUMBERS IN SHORT INTERVALS
Abstract
For sufficiently large Q there exist the intervals I ⊂ [0,1) of length c1(n)Q−1 that do not contain algebraic numbers of any degree n and of height H(P) ≤ Q. In this article we have found an condition for intervals I in terms of the Diophatine approximations when the intervals of length c2(n)Q−γ, γ >1, contain not less than c3(n)Qn−2γ+1 algebraic numbers α of height H(α) ≤ Q and degree deg α = n > 2γ -1.
About the Authors
V. I. BERNIK
Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk
Belarus
Belarus
F. GOETZE
Bielefeld University
Germany
Germany
H. G. HUSAKOVA
Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk
Belarus
Belarus
References
1. Kuipers, L. Uniform distribution of sequences. Pure and Applied Mathematics / L. Kuipers, H. Niederreiter. – New York; London; Sydney, 1974. – xiv+390 p.
2. Baker, A. Diophantine approximation and Hausdorff dimension / A. Baker, W. Schmidt // Proc. London Math. Soc. – 1970. – Vol. 21, N 3. – P. 1–11.
3. Bugeaud, Y. Approximation by algebraic numbers / Y. Bugeaud // Cambridge Tracts in Mathematics. – 2004. – Vol. 160. – 274 p.
4. Спринджук, В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел / В. Г. Спринджук. – Минск: Наука и техника, 1967. – 184 с.
5. Каляда, Д. У. Аб размеркаваннi рэчаiсных алгебраiчных лiкаў дадзенай ступенi / Д. У. Каляда // Докл. НАН Беларуси. – 2012. – Т. 56, № 3. – С. 28–33.
6. Берник, В. И. Распределение действительных алгебраических чисел произвольной степени в коротких интервалах / В. И. Берник, Ф. Гетце // Изв. РАН. Cер. мат. – 2014. – Т. 79, № 1. – С. 21–42.
7. Гётце, Ф. Алгебраические числа в коротких интервалах / Ф. Гётце, А. Г. Гусакова // Докл. НАН Беларуси. – 2015. – Т. 59, № 4. – С. 11–16.
8. Касселс, Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений / Дж. В. С. Касселс. – Москва: Изд-во Иностр. Литер., 1961. – 213 c.
9. Budarina, N. Distance between conjugate algebraic numbers in clusters / N. Budarina, F. Goetze // Math. Notes. – 2013. – Vol. 94, N 5. – P. 816–819.
10. Берник, В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений / В. И. Берник // Acta Arith. – 1983. – Vol. 42, N 3. – P. 219–253.
Review
Views: 998
Email this article 