КЛАССИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ УРАВНЕНИЯ КЛЕЙНА– ГОРДОНА–ФОКА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ

Для одномерного уравнения Клейна–Гордона–Фока рассматривается смешанная задача с двумя нелокальными условиями в полуполосе. Решение данной задачи сводится к решению систем интегральных уравнений Вольтерры второго рода, для которых справедливы условия существования единственного решения в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций при заданной гладкости начальных данных. При заданных условиях гладкости на начальные данные доказана необходимость и достаточность выполнения условий согласования для существования единственного гладкого решения поставленной задачи. При анализе задачи используется метод характеристик, который сводится к разбиению всей области решения на подобласти, в которых строятся решения подзадач с помощью начальных и нелокальных условий. Полученные решения потом склеиваются в общих точках и данные условия склейки и дают условия согласования.

Названный подход позволяет построить как аналитическое решение, в случае если удается в явном виде найти решения систем интегральных уравнений, так и приближенное решение. Причем приближенное решение может быть найдено как в численном виде, так и в аналитическом. При этом для поиска численного решения существенными оказываются условия согласования, которые необходимо учитывать при построении численных методов решения задачи. 

1. Гордезиани, Д. Г. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды / Д. Г. Гордезиани, Г. А. Авалишвили // Матем. моделирование. – 2000. – Т. 12, № 1. – С. 94–103.

2. Пулькина, Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике / Л. С. Пулькина, О. М. Кечина // Вестн. СамГУ. Естественнонаучная серия. – 2005. – № 2(36). – С. 1–9.

3. Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для уравнения Клейна–Гордона–Фока в полуполосе / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Дифференциальные уравнения. – 2014. – Т. 50, № 8. – С. 1108–1117.

4. Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для волнового уравнения с интегральным условием / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2016. – Т. 60, № 6. – С. 22–27.