Классическое решение первой смешанной задачи для уравнения типа Клейна-Гордона-Фока с неоднородными условиями согласования

Рассматривается первая смешанная задача для уравнения типа Клейна-Гордона-Фока в полуполосе в случае, когда выполняются неоднородные условия согласования. С помощью метода характеристик доказывается, что выполнение однородных условий согласования является не только достаточным, но и необходимым для существования единственного классического решения, определенного на всей полуполосе. В случае, когда выполнены неоднородные условия согласования, строится эквивалентная задача сопряжения, в которой условия сопряжения задаются на характеристиках. Построенные неоднородные условия согласования однозначно определяют величину разрывов решения или его производных на характеристиках, причем данные разрывы сохраняются с ростом аргумента по времени.

При решении данной задачи возникают эквивалентные интегральные уравнения Вольтерры второго рода. Для полученных интегральных уравнений доказано существование единственного решения в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций при заданной гладкости данных. Названный подход позволяет строить как точные решения, так и приближенные. Точные решения могут быть найдены в том случае, если удается разрешить эквивалентные интегральные уравнения Вольтерры. В противном случае можно найти приближенное решение задачи либо в аналитическом, либо в численном виде. При этом при построении приближенного решения существенными оказываются условия согласования, которые необходимо учитывать при использовании численных методов решения задачи.

1. Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для уравнения Клейна-Гордона-Фока в полуполосе / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Дифференциальные уравнения. - 2014. - Т. 50, № 8. - С. 1105-1117.

2. Корзюк, В. И. Классические решения задач для гиперболических уравнений: курс лекций в 10 ч. / В. И. Корзюк, И. С. Козловская. - Минск, 2017. - Ч. 2. - 52 с.

3. Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи уравнения Клейна-Гордона-Фока с нелокальными условиями / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. - 2017. - Т. 61, № 6. - С. 20-27.

4. Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для уравнения Клейна-Гордона-Фока с нелокальными условиями / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Тр. Ин-та математики. - 2018. - Т. 26, № 1. - С. 56-72.