О рациональных решениях двух дифференциальных уравнений с подвижной особой линией

Работа посвящена аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Объектом исследования являются нелинейные автономные дифференциальные уравнения третьего порядка с подвижной особой линией. Известны двухпараметрические рациональные решения этих уравнений. Цель исследования – выяснить вопрос, как из общих решений уравнений с подвижной особой линией получить двухпараметрические рациональные решения. В аналитической теории дифференциальных уравнений, как правило, нелинейные дифференциальные уравнения имеют отрицательные резонансы. Среди этих резонансов обязательно содержится резонанс, равный –1 (тривиальный случай). При этом в работах некоторых авторов утверждается, что природа нетривиальных отрицательных резонансов до настоящего времени не понята. Представляют интерес уравнения, решения которых имеют только нетривиальные отрицательные резонансы. Оказывается, что по отрицательным резонансам можно строить рациональные решения рассматриваемых уравнений. В данной работе указано необходимое и достаточное условие, при котором двухпараметрическое рациональное решение уравнения с подвижной особой линией можно получить из его общего решения.

дифференциальное уравнение, подвижная особая линия, общее решение, рациональное решение, ряд Лорана, абсолютная сходимость, резонансы

1. Ablowitz, M. J. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equation of P-type. I / M. J. Ablowitz, A. Ramani, H. Segur // J. Math. Phys. – 1980. – Vol. 21, N 4. – P. 715–721. https://doi.org/10.1063/1.524491

2. Мартынов, И. П. О дифференциальных уравнениях с подвижными критическими особыми точками / И. П. Мартынов // Дифференц. уравнения. – 1973. – T. 9, № 10. – С. 1780–1791.

3. Андреева, Т. К. О нулевых резонансах обыкновенных дифференциальных уравнений / Т. К. Андреева, И. П. Мартынов, В. А. Пронько // Весн. Гродзенскага дзярж. ун-та імя Янкі Купалы. Сер. 2. Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, вылічальная тэхніка і кіраванне. – 2010. – T. 102, № 3. – С. 29–36.

4. Соболевский, С. Л. Существование рациональных решений дифференциальных уравнений со свойством Пенлеве и отрицательными резонансными числами / С. Л. Соболевский // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2012. – T. 56, № 3. – С. 5–9.

5. Clarkson, P. A. Symmetry and Chazy equation / P. A. Clarkson, P. J. Olver // Journal of Differential Equation. – 1996. – Vol. 124, N 1. – P. 225–246. https://doi.org/10.1006/jdeq.1996.0008

6. Здунек, А. Г. О рациональных решениях дифференциальных уравнений / А. Г. Здунек, И. П. Мартынов, В. А. Пронько // Весн. Гродзенскага дзярж. ун-та імя Янкі Купалы. Сер. 2. Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, вылічальная тэхніка і кіраванне. – 2000. – T. 3, № 1. – С. 33–39.

7. Jrad, F. Non-polynomial fourth order equations which pass the Painleve test / F. Jrad, U. Muğan // Zeitschrift für Naturforschung A. – 2005. – Vol. 60a, N 6. – P. 387–400. https://doi.org/10.1515/zna-2005-0601

8. Сhazy, J. Sur les équations différentielles du troisième ordre et d’ordre supérieur dont l’intégrale générale a ses points critiques fixes / J. Сhazy // Acta Math. – 1911. – Vol. 4. – P. 317–385.

9. Мартынов, И. П. Аналитические свойства решений одного дифференциального уравнения третьего порядка / И. П. Мартынов // Дифференц. уравнения. – 1985. – T. 21, № 5. – С. 764–771.

10. Чэнь Ян. Аналитические свойства решений системы Дарбу третьего порядка / Ян Чэнь // Весн. Гродзенскага дзярж. ун-та імя Янкі Купалы. Сер. 2. Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, вылічальная тэхніка і кіраванне. – 2018. – T. 8, № 2. – С. 26–31.