Периодические и почти периодические решения уравнений Риккати с линейной отражающей функцией

Исследуется уравнение Риккати с помощью метода отражающей функции Мироненко. Предварительно осуществляется построение класса уравнений Риккати, обладающих отражающей функцией определенного вида. В этом направлении, в частности, найдены необходимые и достаточные условия того, чтобы уравнение Риккати имело линейную по фазовой переменной отражающую функцию. Эти условия носят конструктивный характер, поскольку на их основе получена формула, которая выражает линейную по фазовой переменной отражающую функцию через коэффициенты уравнения Риккати. Дополнительно исследована зависимость между свойством четности (нечетности) коэффициентов уравнения Риккати и наличием у него линейной по фазовой переменной отражающей функции. Применение метода отражающей функции Мироненко к построенному классу уравнений Риккати позволило установить достаточные условия, при выполнении которых все его решения являются периодическими либо почти периодическими. Найден признак отсутствия периодических решений у почти периодических уравнений Риккати. Приведен пример квазипериодического уравнения Риккати с квазипериодической отражающей функцией, которое имеет периодическое решение.

1. Мироненко, В. И. Классы систем с совпадающими отражающими функциями / В. И. Мироненко // Дифференц. уравнения. – 1984. – Т. 20, № 12. – С. 2173–2176.

2. Zhou, Z. Research on the properties of some planar polynomial differential equations / Z. Zhou // Appl. Math. Comput. – 2012. – Vol. 218, N 9. – P. 5671–5681. https://doi.org/10.1016/j.amc.2011.11.062

3. Zhou, Z. On the structure of the equivalent differential systems and their reflecting integrals / Z. Zhou // Bull. Braz. Math. Soc. (N. S.). – 2017. – Vol. 48, N 3. – P. 439–447. https://doi.org/10.1007/s00574-016-0026-4

4. Musafirov, E. V. Reflecting function and periodic solutions of differential systems with small parameter / E. V. Musafirov // Indian J. Math. – 2008. – Vol. 50, N 1. – P. 63–76.

5. Мусафиров, Э. В. Допустимые возмущения системы Лэнгфорда / Э. В. Мусафиров // Проблемы физики, математики и техники. – 2016. – № 3 (28). – С. 47–51.

6. Деменчук, А. К. О существовании частично нерегулярных почти периодических решений линейных неоднородных дифференциальных систем в одном критическом нерезонансном случае / А. К. Деменчук // Дифференц. уравнения. – 2004. – Т. 40, № 5. – С. 590–596.

7. Деменчук, А. К. О частично нерегулярных почти периодических решениях слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных систем / А. К. Деменчук // Укр. мат. журн. – 2005. – Т. 57, № 8. – С. 1325–1333.

8. Zhang, C. Ergodicity and asymptotically almost periodic solutions of some differential equations / C. Zhang // Int. J. Math. Math. Sci. – 2001. – Vol. 25, N 12. – P. 787–801. https://doi.org/10.1155/s016117120100429x

9. Белокурский, М. С. Почти периодические решения почти периодического уравнения Абеля с линейной отражающей функцией / М. С. Белокурский // Проблемы физики, математики и техники. – 2020. – № 4 (45). – С. 88–90.

10. Белокурский, М. С. Периодическая отражающая функция нелинейной квазипериодической дифференциальной системы с двухчастотным базисом / М. С. Белокурский, А. К. Деменчук // Дифференц. уравнения. – 2013. – Т. 49, № 10. – С. 1356–1360.

11. Мироненко, В. И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем / В. И. Мироненко. – Гомель, 2004. – 196 с.

12. Егоров, А. И. Уравнения Риккати / А. И. Егоров. – М., 2001. – 320 с.

13. Барис, Я. С. О взрывных решениях неавтономных квадратичных дифференциальных систем / Я. С. Барис, П. Я. Барис, Б. Рухлевич // Дифференц. уравнения. – 2006. – Т. 42, № 3. – С. 302–307.

14. Мироненко, В. И. О периодических решениях уравнения Риккати / В. И. Мироненко // Проблемы физики, математики и техники. – 2015. – № 2 (23). – С. 62–64.

15. Левитан, Б. М. Почти периодические функции / Б. М. Левитан. – М., 1953. – 396 с.