CONSTRUCTING THE PFAFFIAN LINEAR SYSTEMS WITH MULTIDIMENSIONAL TIME AND ARBITRARY LOWER CHARACTERISTIC AND CHARACTERISTIC SETS

It is proved that there exist the completely integrable Pfaffian systems ∂x / ∂ti = Ai (t)x, x∈n , = ( 1, , ) m, t t tm ∈+ i = 1, m, m ≥ 2, with infinitely differentiable bounded coefficients such that the lower characteristic set of these systems is an arbitrary pre-assigned disconnected set and has a positive Lebesgue m-measure. Also, both characteristic and lower characteristic sets for these systems can be arbitrarily pre-assigned. The proofs are constructive.

1. Гайшун, И. В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения / И. В. Гайшун. – Минск, 1983.

2. Гайшун, И. В. Линейные уравнения в полных дифференциалах / И. В. Гайшун. – Минск, 1989.

3. Грудо, Э. И. Характеристические векторы и множества функций двух переменных и их основные свойства / Э. И. Грудо // Дифференц. уравнения. – 1976. – Т. 12, № 12. – С. 2115–2128.

4. Изобов, Н. А. О существовании линейных систем Пфаффа с множеством нижних характеристических векторов положительной плоской меры / Н. А. Изобов // Дифференц. уравнения. – 1997. – Т. 33, № 12. – С. 1623–1630.

5. Шефер, Х. Топологические векторные пространства / Х. Шефер. – М.: Мир, 1971. – 60 с.

6. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. – М.: Наука, 1976. – 543 с.

7. Изобов, Н. А. О существовании линейной системы Пфаффа с несвязным нижним характеристическим множеством положительной меры / Н. А. Изобов, А. С. Платонов // Дифференц. уравнения. – 1999. – Т. 35, № 1. – С. 65–71.

8. Изобов, Н. А. Существование линейных систем Пфаффа с нижним характеристическим множеством положительной меры Лебега в пространстве R3 / Н. А. Изобов, С. Г. Красовский, А. С. Платонов // Дифференц. уравнения. – 2008. – Т. 44, № 10. – С. 1311–1318.

9. Изобов, Н. А. Линейные системы Пфаффа с нижним характеристическим ножеством положительной m-меры Лебега / Н. А. Изобов, С. Г. Красовский, А. С. Платонов // Дифференц. уравнения. – 2009. – Т. 45, № 5. – С. 635–646.

10. Изобов, Н. А. Построение линейного уравнения Пфаффа с произвольно заданными характеристическим и нижним характеристическим множествами / Н. А. Изобов, А. С. Платонов // Дифференц. уравнения. – 1998. – Т. 34, № 12. – С. 1596–1603.

11. Платонов, А. С. Существование линейных систем Пфаффа с произвольным нижним характеристическим множеством, являющимся счетным множеством отрезков пространства R3 / А. С. Платонов, А. А. Тимофеева // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, № 10. С. 1444–1452.

12. Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной / И. П. Натансон. – М., 1974.