DISCRIMINANT VALUES OF INTEGRAL POLYNOMIALS IN THE ARCHIMEDEAN AND NON-ARCHIMEDEAN METRICS
Abstract
Consider the class 3(Q) of the polynomials P(t)∈[t] of degree 3 and height H(P) ≤ Q, Q >1. Define a subclass S3(Q) in 3(Q) by taking the polynomials P(t) having discriminants not exceeding Q2n−2−2v1 and divisible by the power of the prime number pe , pe > Q2v2 , v1 ≥ 0, v2 ≥ 0, 0 ≤ v1 + v2 < 3 / 2. The upper bound on the number of the elements in S3(Q). is found. It has been proved that for any ε > 0 and Q > Q0 (ε), the inequality 4 5/3( 1 2 ) # 3( ) S Q Q v v < − + +ε is valid.
About the Authors
V. I. BERNIK
Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus
Belarus
Belarus
N. V. BUDARINA
Dublin Institute of Technology
Ireland
Ireland
H. O’DONNELL
Dublin Institute of Technology
Ireland
Ireland
References
1. Ван дер Варден, Б. Л. Алгебра / Б. Л. Ван дер Варден. – Москва: Наука, 1976. – 648 с.
2. Коледа, Д. В. Об оценке сверху для числа целочисленных многочленов третьей степени с заданной границей для дискриминантов / Д. В. Коледа // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2010. – № 3. – С. 10–16.
3. Бересневич, В. В. Совместные приближения нуля целочисленным многочленом, его производной и малые значения дискриминантов / В. В. Бересневич, В. И. Берник, Ф. Гётце // Докл. НАН Беларуси. – 2010. – Т. 54, № 2. – P. 26–28.
4. Bernik, V. I. On the divisibility of the discriminant of an integral polynomial by prime powers / V. I. Bernik, F. Goetze, O. S. Kukso // Lith. Math. J. – 2008. – Vol. 48. – P. 380–396.
5. Budarina, N. On the number of polynomials with small discriminants in the euclidean and p- adic metrics / N. Budarina, D. Dickinson, Jin Yuan // Acta Mathematica Sinica. – 2012. – Vol. 28, Issue 3. – P. 469–476.
6. Спринджук, В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел / В. Г. Спринджук. – Минск: Наука и техника, 1967. – 184 c.
7. Bernik, V. I. Metric Diophantine approximation on manifolds / V. I. Bernik, M. M. Dodson. – Cambridge: Cambridge University Press, 1999.
8. Берник, В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений / В. И. Берник // Acta Arith. – 1983. – Vol. 42, Issue 3. – P. 219–253.
9. Берник, В. И. Распределение действительных алгебраических чисел произвольной степени в коротких интервалах / В. И. Берник, Ф. Гëтце // Изв. РАН. Сер. матем. – 2015. – T. 79, № 1. – С. 21–42.
Review
Views: 914
Email this article 