О МАЛОСТИ НЕПРИВОДИМЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ПОЛИНОМОВ

Работа посвящена усилению и обобщению известной леммы из монографии А. О. Гельфонда «Трансцендентные и алгебраические числа» об оценке порядка приближения нуля неприводимым делителем целочисленного полинома.
В лемме Гельфонда утверждается, что если полином P(x)∈Z[x] степени не более n и высоты не более Q имеет в некоторой трансцендентной точке x∈Z значение P(x) < Q−w, то при w > 6n найдется делитель P(x), полином d(x)∈Z[x], являющийся степенью неприводимого над полем рациональных чисел целочисленного полинома, для которого справедливо d(x) < Q−w+6n. Лемма Гельфонда и ее аналоги имеют важные приложения во многих проблемах метрической теории диофантовых приближений. Одно из них – р езультат В . И . Б ерника 1 983 г . об оценке сверху
размерности Хаусдорфа множества действительных чисел с заданной мерой трансцендентности, который вместе с результатом А. Бейкера и В. Шмидта 1970 г. об оценке снизу размерности Хаусдорфа позволил найти ее точное значение.
В. И. Берник усилил и обобщил лемму Гельфонда, используя более слабое условие w > 3n и получая б олее сильную оценку d(x) < Q−w+n , а также рассматривая значения полиномов на заданном интервале. Однако область применения данного результата была ограничена из-за достаточно сильных условий на w. В данной работе получена оценка d(x) < Q−w+n−1 на некотором интервале при отсутствии ограничений на w, что усиливает и обобщает лемму Гельфонда и существующие аналогичные результаты. В работе используются методы теории трансцендентных чисел.

диофантовы приближения, размерность Хаусдорфа, трансцендентные числа, результант, неприводимый делитель, лемма Гельфонда

1. Mahler, K. Über das Maß der Menge aller S-Zahlen / K. Mahler // Mathematische Annalen. – 1932. – Vol. 106, N 1. – S. 131–139. doi.org/10.1007/bf01455882

2. Спринджук, В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел / В. Г. Спринджук. – Минск: Наука и техника, 1967. – 184 с.

3. Baker, A. Diophantine approximation and Hausdorff dimension / A. Baker, W. M. Schmidt // Proceedings of the London Mathematical Society. – 1970. – Vol. s3-21, N 1. – P. 1–11. doi.org/10.1112/plms/s3-21.1.1

4. Берник, В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений / В. И. Берник // Acta Arithmetica. – 1983. – Т. 42, № 3. – С. 219–253.

5. Гельфонд, А. О. Трансцендентные и алгебраические числа / А. О. Гельфонд. – М.: ГИТТЛ, 1952. – 224 c.

6. Бударина, Н. В. Значения неприводимых делителей целочисленных полиномов / Н. В. Бударина, В. И. Берник, Х. О’Доннелл // Весн. Магiлёўскага дзярж. ун-та iмя А. А. Куляшова. Сер. B: Прыродазнаўчыя навукi (матэматыка, фiзiка, бiялогiя). – 2015. – № 2 (46). – С. 17–22.