ОБ ОЦЕНКАХ ВЕЛИЧИН РЕЗУЛЬТАНТОВ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ПОЛИНОМОВ БЕЗ ОБЩИХ КОРНЕЙ

В данной работе мы усиливаем и обобщаем известную лемму из монографии А. О. Гельфонда «Трансцендентные и алгебраические числа» об оценке порядка одновременной аппроксимации нуля значениями двух целочисленных полиномов без общих корней. В лемме Гельфонда утверждается, что если два целочисленных полинома P1 и P2 степени не более n1 и n2 и высоты не более Qµ1 и Qµ2 соответственно, не имеющие общих корней, принимают в некоторой трансцендентной точке x ∈¡ значения 1 Px Q 1( ) −τ < и 2 Px Q 2 () , −τ < то min( , ) τ τ < µ + µ +δ 1 2 12 21 n n . Лемма Гельфонда и ее аналоги имеют важные приложения во многих проблемах метри- ческой теории диофантовых приближений. Одно из них – результат В. И. Берника 1983 года об оценке сверху размерности Хаусдорфа множества действительных чисел с заданной мерой трансцендентности, который вместе с результатом А. Бейкера и В. Шмидта 1970 года об оценке снизу размерности Хаусдорфа позволил найти ее точное значение. В своей работе В. И. Берник усилил лемму Гельфонда, рассматривая значения полиномов степени не более n и высоты не более Qµ на некотором интервале длины Q−η и получая более сильное неравенство τ+µ+ τ+µ−η < µ +δ 2max( , 0) 2 , n τ= τ τ min( , ). 1 2 Однако область применения результата В. И. Берника была несколько ограничена из-за необходимости рассматривать одинаковые оценки степени и высоты полиномов. В данной работе мы рассматриваем значения полиномов различной степени и высоты на интервале и получаем более сильную оценку, используя производные более высоких порядков, что усиливает и обобщает лемму А. О. Гельфонда и существующие аналогичные результаты. В работе используются методы теории трансцендентных чисел. 

1. Гельфонд, А. О. Трансцендентные и алгебраические числа / А. О. Гельфонд. – Москва: ГИТТЛ, 1952. – 224 c.

2. Берник, В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений / В. И. Берник // Acta Arithmetica. – 1983. – Vol. 42, N 3. – P. 219–253.

3. Baker, A. Diophantine approximation and Hausdorff dimension / A. Baker, W. M. Schmidt // Proceedings of the London Mathematical Society (3). – 1970. – Vol. 21. – P. 1–11. doi.org/10.1112/plms/s3-21.1.1

4. Tishchenko, K. I. On approximation to real numbers by algebraic numbers / K. I. Tishchenko // Acta Arithmetica. – 2000. – Vol. 94, N 1. – P. 1–24.

5. Tsishchanka, K. I. On approximation of real numbers by algebraic numbers of bounded degree / K. I. Tishchenko // Journal of Number Theory. – 2007. – Vol. 123, N 2. – P. 290–314. doi.org/10.1016/j.jnt.2006.07.012

6. Wirsing, E. Approximation mit algebraischen Zahlen beschränkten Grades / E. Wirsing // J. Reine Angew. Math. – 1961. – Vol. 206. – P. 67–77. doi.org/10.1515/crll.1961.206.67