Доступ открыт Открытый доступ  Доступ закрыт Только для подписчиков

О неустойчивости линейных дифференциальных систем Миллионщикова, зависящих от вещественного параметра


https://doi.org/10.29235/1561-8323-2019-63-3-270-277

Полный текст:


Аннотация

Рассматриваютcя однопараметрические семейства линейных дифференциальных систем второго порядка, матрица коэффициентов которых зависит от вещественного параметра и представляет собой на каждом нечетном отрезке времени единичной длины диагональную матрицу, а за каждый четный отрезок времени матрица Коши системы осуществляет поворот на некоторый угол, аффинно зависящий от параметра. Ранее автором установлена положительность старшего показателя Ляпунова такой системы, рассматриваемого как функция параметра, на множестве положительной меры Лебега в случае, когда диагональная часть матрицы коэффициентов не зависит от параметра и отделена от нуля. В доказательстве этого результата существенно используются комплексные матрицы специального вида. В настоящей работе приводится другой способ доказательства данной теоремы, основанный на применении равенства Парсеваля для тригонометрических сумм. Помимо этого, рассмотрен частный случай описанных выше систем, характеризующийся тем, что диагональная часть матрицы коэффициентов не зависит от времени и достаточно велика, а углы поворота определяются максимальной степенью двойки, которая делит номер соответствующего отрезка времени. Для таких систем в случае непрерывной зависимости коэффициентов от параметра доказано существование такого его значения, при котором соответствующая система неустойчива.


Об авторе

А. В. Липницкий
Институт математики Национальной академии наук Беларуси
Беларусь

Липницкий Андрей Валерьевич – канд. физ.-мат. наук, науч. сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск, Республика Беларусь



Список литературы

1. Липницкий, А. В. Оценки снизу старшего характеристического показателя в однопараметрических семействах систем Миллионщикова / А. В. Липницкий // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. – 2014. – Вып. 30. – С. 171–177.

2. Миллионщиков, В. М. Доказательство существования неправильных систем линейных дифференциальных уравнений с почти-периодическими коэффициентами / В. М. Миллионщиков // Дифференц. уравнения. – 1968. – Т. 4, № 3. – С. 391–396.

3. Миллионщиков, В. М. Доказательство существования неправильных систем линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами / В. М. Миллионщиков // Дифференц. уравнения. – 1969. – Т. 5, № 11. – С. 1979–1983; 1974. – T. 10, № 3. – C. 569.

4. Липницкий, А. В. О решении В. М. Миллионщиковым проблемы Еругина // Дифференц. уравнения. – 2000. – Т. 36, № 12. – С. 1615–1620.

5. Барабанов, Е. А. Сингулярные показатели и критерии правильности линейных дифференциальных систем / Е. А. Барабанов // Дифференц. уравнения. – 2005. – Т. 41, № 2. – С. 147–157.

6. Изобов, Н. А. Введение в теорию показателей Ляпунова / Н. А. Изобов. – Минск, 2006. – 319 с.

7. Липницкий, А. В. Оценки отклонения решений линейных дифференциальных систем Миллионщикова от соответствующих тригонометрических сумм / А. В. Липницкий // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2016. – Т. 60, № 3. – С. 5–10.

8. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. – М., 2004. – 572 с.


Дополнительные файлы

Просмотров: 122

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1561-8323 (Print)
ISSN 2524-2431 (Online)