Об одном рациональном сингулярном интеграле Джексона на отрезке

Приведены основные результаты ранее известных работ о сингулярном интеграле Джексона в полиномиальном и рациональном случаях. Вводится в рассмотрение сингулярный интеграл Джексона на отрезке [–1, 1] с ядром, полученным с помощью одной системы рациональных дробей чебышёва–Маркова, и устанавливаются его основные аппроксимативные свойства: получена теорема о равномерной сходимости последовательности сингулярных интегралов Джексона для четной функции f C ∈ - [ 1,1], и указаны условия, которым должен удовлетворять параметр, чтобы равномерная сходимость имела место; исследованы аппроксимативные свойства последовательности сингулярных интегралов Джексона на классах MH ^(γ) [ 1,1] - функций, удовлетворяющих на отрезке [–1, 1] условию Липшица степени γ < γ ≤ , 0 1, с константой M. Полученные оценки являются асимптотически точными при n → ∞; найдены оценка уклонений рационального сингулярного интеграла Джексона от функции |x|^s, 0 < s < 2, в зависимости от положения точки x на отрезке, равномерная оценка уклонения на отрезке [–1, 1] и ее асимптотика. Получено оптимальное значение параметра, при котором погрешность уклонения изучаемого аппарата приближения от функции |x|^s, 0 < s < 2, на отрезке [–1, 1] имеет наиболее высокую скорость стремления к нулю; найден порядок приближения функции |x| на отрезке [–1, 1] рассматриваемым сингулярным интегралом Джексона. Показано, что при специальном выборе параметра скорость стремления к нулю погрешности приближения является более высокой в сравнении с полиномиальным случаем. Работа носит как теоретический характер, так и прикладной. Возможно применение результатов для решения конкретных задач вычислительной математики и при чтении спецкурсов на математических факультетах.

1. Jackson, D. The theory of approximation / D. Jackson. – American Mathematical Society Colloquium Publications, 1930. – Vol. XI. – 184 p. http://dx.doi.org/10.1090/coll/011

2. Schurer, F. On the Degree of Approximation of Functions in C2π1 with Operators of the Jackson Type / F. Schurer,F. W. Steutel // Journal of Approximation Theory. – 1979. – Vol. 27, N 2. – P. 153–178. https://doi.org/10.1016/0021-9045(79)90117-5

3. Waf, A. Saturation of local approximation by linear positive operators of Jackson type / A. Waf // Indian J. Pure Appl. Math. – 1980. – Vol. 11, N 9. – P. 1194–1201.

4. Сафронова, Г. П. О методе суммирования расходящихся рядов, связанном с сингулярным интегралом Джексона / Г. П. Сафронова // Докл. АН СССР. – 1950. – Т. 73, № 2. – С. 277–278.

5. Takenaka, S. On the orthogonal functions and a new formula of interpolations / S. Takenaka // Japanese Journal of Mathematics. – 1925. – Vol. 2. – P. 129–145. https://doi.org/10.4099/jjm1924.2.0_129

6. Malmquist, F. Sur la determination d’une classe functions analytiques par leurs dans un ensemble donne de points / F. Malmquist // Compte Rendus Six. Cong. math. scand. – kopenhagen, Denmark, 1925. – P. 253–259.

7. Русак, В. Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В. Н. Русак. – Минск, 1979. – 178 с.

8. Ровба, Е. А. Рациональные интегральные операторы на отрезке / Е. А. Ровба // Докл. АН Беларуси. – 1996. – Т. 40, № 3. – С. 42–46.

9. Смотрицкий, К. А. О приближении выпуклых функций рациональными интегральными операторами на отрезке / К. А. Смотрицкий // Вестн. БГУ. Сер. 1. Физика. Математика. Информатика. – 2005. – № 3. – С. 64–70.

10. Никольский, С. М. Об асимптотическом поведении остатка при приближении функций, удовлетворяющих условию Липшица, суммами Фейера / С. М. Никольский // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1940. – Т. 4, № 6. – С. 501–508.

11. Bernstein, S. Sur la meilleure approximation de |x| par des polynomes de degres donnes / S. Bernstein // Acta Math. – 1913. – Vol. 37. – P. 1–57. https://doi.org/10.1007/bf02401828

12. Newman, D. J. Rational approximation to |x| / D. J. Newman // Mich. Math. J. – 1964. – Vol. 11, N 1. – P. 11–14. https://doi.org/10.1307/mmj/1028999029

13. Буланов, А. П. Асимптотика для наименьших уклонений |x| от рациональных функций / А. П. Буланов // Матем. сб. – 1968. – Т. 76, № 2. – С. 288–303.

14. Вячеславов, Н. С. О приближении функции |x| рациональными функциями / Н. С. Вячеславов // Матем. заметки. – 1974. – Т. 16, вып. 1. – С. 163–171.

15. Шталь, Г. Наилучшие равномерные рациональные аппроксимации |x| на [–1, 1] / Г. Шталь // Матем. сб. – 1992. – Т. 183, № 8. – C. 85–118.

16. Бернштеин, С. Н. О наилучшем приближении |x|p при помощи многочленов весьма высокой степени / С. Н. Бернштеин // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. – 1938. – Т. 2, вып. 2. – С. 169–190.

17. Freud, G. Rational approximation to xa / G. Freud, J. Szabados // Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae. – 1967. – T. 18, N 3–4. – P. 393–399. https://doi.org/10.1007/bf02280298

18. Гончар, А. А. О скорости рациональной аппроксимации непрерывных функций с характерными особенностями / А. А. Гончар // Матем. сб. – 1967. – Т. 73, № 4. – С. 630–638.

19. Вячеславов, Н. С. Об аппроксимации xa рациональными функциями / Н. С. Вячеславов // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1980. – Т. 44, вып. 1. – С. 92–109.

20. Stahl, H. Best uniform rational approximation of xa on [0, 1] / H. Stahl // Bul. Am. Math. Society. – 1993. – Vol. 28, N 1. – P. 116–122. https://doi.org/10.1090/s0273-0979-1993-00351-3

21. Revers, M. On the asymptotics of polynomial interpolation to xa at the Chebyshev nodes / M. Revers // Journal of Approximation Theory. – 2013. – Vol. 165. – P. 70–82.

22. Райцин, Р. А. Асимптотические свойства равномерных приближений функций с алгебраическими особенностями частичными суммами ряда Фурье–чебышева / Р. А. Райцин // Изв. вузов. Матем. – 1980. – № 3. – С. 45–49.

23. Поцейко, П. Г. Об одном представлении сингулярного интеграла Джексона и аппроксимации функции |x|s на отрезке [–1, 1] / П. Г. Поцейко // Весн. Гродзенскага дзярж. ун-та. Сер. 2. Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, вылічальная тэхніка і кіраванне. – 2019. – Т. 9, № 2. – С. 22–38.

24. Ровба, Е. А. Об одной системе рациональных дробей чебышёва–Маркова / Е. А. Ровба, П. Г. Поцейко // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2017. – Т. 61, № 1. – С. 24–29.

25. Rouba, y. On a system of rational Chebyshev–Markov fractions // y. Rouba, P. Patseika, k. Smatrytski // Analysis Math. – 2018. – Vol. 44, N 1. – P. 115–140. https://doi.org/10.1007/s10476-018-0110-7

26. Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. – М., 1949. – 684 с.