Опорные точки полунепрерывных снизу функций относительно множества липшицевых вогнутых функций

Для функций, определенных на нормированных пространствах, вводится понятие  LС -выпуклости, которое обобщает понятие классически выпуклых функций.  LС -выпуклыми названы такие функции, которые являются верхними огибающими некоторого множества липшицевых вогнутых функций. Доказывается, что функция является LС -выпуклой в том и только том случае, когда она полунепрерывна снизу и, кроме того, ограничена снизу некоторой липшицевой функцией. Как обобщение понятия глобального субдифференциала классически выпуклой функции, вводятся множество опорных LС -минорант к функции в заданной точке и множество нижних LС -опорных точек функции, в терминах которых затем устанавливаются критерий для точек глобального минимума и необходимое условие для точек глобального максимума негладких функций. Важным результатом данного сообщения является доказательство того, что для LС -выпуклых функций множество нижних LС -опорных точек является плотным в ее эффективной области. Данное утверждение распространяет на более широкий класс полунепрерывных снизу функций известную теорему Брондстеда–Рокафеллара о существовании субдифференциала для классически выпуклых полунепрерывных снизу функций и восходят к одному из важнейших результатов классического выпуклого анализа – теореме Бишопа–Фелпса о плотности опорных точек в границе замкнутого выпуклого множества.

абстрактная выпуклость, полунепрерывные фунции, липшицевы функции, вогнутые функции, опорные миноранты, опорные точки, плотность опорных точек, глобальный экстремум

1. Экланд, И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы / И. Экланд, Р. Темам. – М.: Мир, 1979. – 200 с.

2. Рокафеллар, Р. Выпуклый анализ / Р. Рокафеллар. – М.: Мир, 1973. – 469 с.

3. Половинкин, Е. С. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа / Е. С. Половинкин, М. В. Балашов. – М.: Физматлит, 2004. – 416 с.

4. Penot, J.-P. Calcul Sous-Differential et Optimization / J.-P. Penot // Journal of Functional Analysis. – 1978. – Vol. 27, N 2. – P. 248–276. https://doi.org/10.1016/0022-1236(78)90030-7

5. Кларк, Ф. Оптимизация и негладкий анализ / Ф. Кларк. – М.: Наука, 1988. – 280 с.

6. Michel, P. Calcul sous-differential pour les fonctions lipschitzienness et non-lipschitziennes / P. Michel, J.-P. Penot. – Paris, 1984. – Ser. I, Vol. 298, N 12. – Р. 269–272.

7. Kruger, A. Y. On Fréchet subdifferentials // J. Math. Sci. – 2003. – Vol. 116, N 3. – P. 3325–3358. https://doi.org/10.1023/a:1023673105317

8. Mordukhovich, B. S. Variational Analysis and Generalized Differentiation. I: Basic Theory / B. S. Mordukhovich. – Berlin, 2006. – 579 p. https://doi.org/10.1007/3-540-31247-1

9. Кутателадзе, С. С. Двойственность Минковского и ее приложения / С. С. Кутателадзе, А. М. Рубинов. – Новосибирск: Наука, 1976. – 254 с.

10. Pallaschke, D. Foundations of Mathematical Optimization (Convex analysis without linearity) / D. Pallaschke, S. Rolewicz. – Dordrecht, 1997. – 585 p. https://doi.org/10.1007/978-94-017-1588-1

11. Singer, I. Abstract Convex Analysis / I. Singer. – New York, 1997. – 491 p.

12. Rubinov, A. M. Abstract convexity and global optimization / A. M. Rubinov. – Dordrecht, 2000. – 493 р. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3200-9

13. Brøndsted, A. On the subdifferentiability of convex functions / A. Brøndsted, R. T. Rockafellar // Proc. Amer. Math. Soc. – 1965. – Vol. 16, N 4. – P. 605–611. https://doi.org/10.1090/s0002-9939-1965-0178103-8

14. Bishop, E. The support functionals of convex sets / E. Bishop, R. R. Phelps // Proc. Sympos. Pure Math. – 1963. – Vol. VII. – P. 27–35. https://doi.org/10.1090/pspum/007/0154092

15. Gorokhovik, V. V. Minimal convex majorants of functions and Demyanov–Rubinov exhaustive super(sub)differentials / V. V. Gorokhovik // Optimization. – 2019. – Vol. 68, N 10. – P. 1933–1961. https://doi.org/10.1080/02331934.2018.1518446