Диофантовы приближения с постоянной правой частью неравенств на коротких интервалах
https://doi.org/10.29235/1561-8323-2021-65-4-397-403
Аннотация
В метрической теории диофантовых приближений одной из основных задач, приводящих к точным характеристикам в классификациях Малера и Коксмы, является оценка меры Лебега множества точек x ∈ B ⊂ I интервала I, для которых выполняется неравенство | P (x) | < Q-w, w > n, Q >1 для полиномов P(x) ∈ Z[x], deg P ≤ n, H(P) ≤Q. В разных промежутках изменения w методы получения оценок разные. В данной работе при w>n +1 мы получаем оценку µ B< c1(n) Q – (w-1/n). Наилучшая к настоящему времени оценка имела вид c2(n) Q –(w- n/n).
Об авторах
В. И. Берник
Институт математики Национальной академии наук Беларуси
Беларусь
Беларусь
Берник Василий Иванович – д-р физ.-мат. наук, профессор, гл. науч. сотрудник
ул. Сурганова, 11, 220072, Минск
Д. В. Васильев
Институт математики Национальной академии наук Беларуси
Беларусь
Беларусь
Васильев Денис Владимирович – канд. физ.-мат. наук
ул. Сурганова, 11, 220072, Минск
Е. В. Засимович
Институт математики Национальной академии наук Беларуси
Беларусь
Беларусь
Засимович Елена Васильевна – аспирант
ул. Сурганова, 11, 220072, Минск
Список литературы
1. Khintchine, A. Einige Sätze über Kettenbrüche mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen / A. Khinchine // Mathematische Annalen. – 1924. – Vol. 92, N 1–2. – P. 115–125. https://doi.org/10.1007/bf01448437
2. Касселс, Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений / Дж. В. С. Касселс. – М., 1961. – 213 с.
3. Шмидт, В. Диофантовы приближения / В. Шмидт. – М., 1983. – 228 с.
4. Спринджук, В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел / В. Г. Спринджук. – Минск, 1967. – 181 с.
5. Bernik, V. I. Metric Diophantine Approximation on Manifolds / V. I. Bernik, M. M. Dodson. – Cambridge, 1999. https://doi.org/10.1017/cbo9780511565991
6. Budarina, N. On the rate of convergence to zero of the measure of extremal sets in metric theory of transcendental numbers / N. Budarina // Math. Z. – 2019. – Vol. 293, N 1–2. – P. 809–824. https://doi.org/10.1007/s00209-018-2211-1
7. Dirichlet, L. G. P. Verallgemeinerung eines Satzes aus der Lehre von den Kettenbrüchen nebst einigen Anwendungen auf die Theorie der Zahlen / L. G. P. Dirichlet // G. Lejeune Dirichlet’s Werke. – 1842. – P. 633–638. https://doi.org/10.1017/cbo9781139237338.037
8. Khintchine, A. Zur metrischen Theorie der diophantischen Approximationen / A. Khintchine // Mathematische Zeitschrift. – 1926. – Vol. 24, N 1. – P. 706–714. https://doi.org/10.1007/bf01216806
9. Bernik, V. I. The exact order of approximating zero by values of integral polynomials / V. I. Bernik // Acta Arith. – 1989. – Vol. 53, N 1. – P. 17–28.
10. Арнольд, В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике / В. И. Арнольд // Успехи математ. наук. – 1963. – Т. 18, № 6(114). – С. 91–192.
11. Beresnevich, V. Sums of reciprocals of fractional parts and multiplicative Diophantine approximation / V. Beresnevich, A. Haynes, S. S. Velani // Memoirs of the American Mathematical Society. – 2020. – Vol. 263, N 1276. https://doi.org/10.1090/memo/1276
12. Спринджук, В. Г. Доказательство гипотезы Малера о мере множества S-чисел / В. Г. Спринджук // Изв. АН СССР, сер. матем. – 1965. – Т. 29, № 2. – С. 379–436.
Рецензия
Просмотров: 607
Послать статью по эл. почте 